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LAG · Übungsblatt 7 · Aufgabe 3

Inverse eines Produkts: (A·B)⁻¹ = B⁻¹·A⁻¹

Hat man zwei Matrizen AA und BB, die sich beide rückgängig machen lassen, dann lässt sich auch ihr Produkt A⋅BA \cdot B rückgängig machen. Die Frage ist nur: in welcher Reihenfolge? Hier wird bewiesen, dass die Reihenfolge sich umdreht. Danach rechnen wir es an einem Beispiel nach und sehen an einem verzerrten und gedrehten Haus, warum das so sein muss. Der ganze Lösungsweg steht offen da, die Erklärung gehört jeweils zum aktuellen Schritt. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Die Aufgabe

a) Zeigen Sie, dass für invertierbare n×nn \times n-Matrizen AA und BB gilt:

(A⋅B)−1=B−1⋅A−1(A\cdot B)^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}

b) Verifizieren Sie dies am Beispiel

A=[12−11],  B=[02−11].A=\begin{bmatrix}1&2\\-1&1\end{bmatrix},\;B=\begin{bmatrix}0&2\\-1&1\end{bmatrix}.

c) Was bedeutet diese Rechenregel für Transformationen? Zum Beispiel Verzerrung und Drehung.

Eine n×n-Matrix ist ein quadratisches Zahlenschema mit nn Zeilen und nn Spalten. Invertierbar heißt: Es gibt eine zweite Matrix, die die Wirkung der ersten rückgängig macht. Sie heißt inverse Matrix oder kurz Inverse und wird A−1A^{-1} geschrieben (gelesen „A hoch minus eins“). Der Punkt in A⋅BA \cdot B ist das Matrixprodukt; oft lässt man ihn weg und schreibt ABAB.

Die Aufgabe hat drei Teile. In a) soll die Formel für jede Wahl von AA und BB bewiesen werden, nicht nur für Beispiele. In b) wird sie an zwei konkreten 2×2-Matrizen nachgerechnet: links und rechts der Gleichung muss dieselbe Matrix herauskommen. In c) geht es um die Bedeutung, wenn man Matrizen als Bewegungen der Ebene versteht.

Merke: Das Produkt ABAB macht man in umgekehrter Reihenfolge rückgängig: (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}. Wer erst Socken und dann Schuhe anzieht, zieht erst die Schuhe und dann die Socken aus.

So gehen wir vor:

  1. Teil a): erklären, was „Inverse“ genau heißt; dann den Kandidaten B−1A−1B^{-1}A^{-1} von rechts und von links mit ABAB multiplizieren; zum Schluss zeigen, dass es nur eine Inverse gibt.
  2. Teil b): ABAB ausrechnen, die Inversen von ABAB, AA und BB bestimmen, dann B−1A−1B^{-1}A^{-1} und zur Gegenprobe A−1B−1A^{-1}B^{-1} ausrechnen und vergleichen.
  3. Teil c): ein Haus erst verzerren, dann drehen, und es wieder zurückholen, einmal in der richtigen und einmal in der falschen Reihenfolge.

Was „inverse Matrix“ heißt

Einheitsmatrix, hier für n = 2 und allgemein
E=(1001),E=(10⋱01)E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad E = \begin{pmatrix} 1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & 1 \end{pmatrix}
Definition: Y ist die Inverse von X
X Y=EundY X=EX\,Y = E \quad \text{und} \quad Y\,X = E
Voraussetzung der Aufgabe
A A−1=A−1A=E,B B−1=B−1B=EA\,A^{-1} = A^{-1}A = E, \qquad B\,B^{-1} = B^{-1}B = E

Bevor wir etwas über (AB)−1(AB)^{-1} beweisen, muss klar sein, was das Zeichen bedeutet. Dafür braucht man die Einheitsmatrix EE: Sie hat Einsen auf der Diagonalen von links oben nach rechts unten und sonst nur Nullen. Sie ändert nichts: XE=XXE = X und EX=XEX = X für jede n×n-Matrix XX. Sie spielt für Matrizen die Rolle der Zahl 1.

Eine Matrix YY heißt Inverse von XX, wenn XY=EXY = E und YX=EYX = E gilt. Beide Gleichungen sind nötig, denn bei Matrizen kommt es auf die Reihenfolge an. Über AA und BB wissen wir also nur die vier Gleichungen der Voraussetzung rechts. Nur sie und die Rechenregeln für Matrizen dürfen wir im Beweis benutzen.

Aus Ü6 A5 („Darstellungsmatrix und Inverse einer linearen Abbildung“): Die Matrix der Umkehrabbildung ist die inverse Matrix. Sie macht die Abbildung rückgängig; hintereinander ausgeführt ergibt sich die Einheitsmatrix EE.

Den Kandidaten B⁻¹A⁻¹ ansetzen

Ziel: beide Produkte müssen E ergeben
(AB) (B−1A−1)=?E(B−1A−1) (AB)=?E(AB)\,(B^{-1}A^{-1}) \overset{?}{=} E \qquad (B^{-1}A^{-1})\,(AB) \overset{?}{=} E

Wir wollen zeigen: Die Matrix C=B−1A−1C = B^{-1}A^{-1} ist die Inverse von ABAB. Nach der Definition aus Schritt 1 heißt das: Wir müssen (AB) C=E(AB)\,C = E und C (AB)=EC\,(AB) = E nachrechnen. Wir beginnen mit dem Produkt (AB) C(AB)\,C, also CC von rechts.

ABAB ist wieder eine n×n-Matrix: Das Produkt zweier n×n-Matrizen hat wieder nn Zeilen und nn Spalten. Darum ergibt die Frage nach seiner Inversen überhaupt Sinn.

Warum gerade dieser Kandidat und nicht A−1B−1A^{-1}B^{-1}? In (AB)(B−1A−1)(AB)(B^{-1}A^{-1}) stehen BB und B−1B^{-1} direkt nebeneinander. Nur Nachbarn können sich zu EE wegheben, denn bei Matrizen darf man die Reihenfolge nicht tauschen: Meist ist XY≠YXXY \neq YX. Das sieht man in Teil b): Dort ist AB≠BAAB \neq BA.

Noch 18 Schritte bis zum Ergebnis
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Der Beweis

baut sich Zeile für Zeile auf

Abbildung 1Der Beweis

baut sich Zeile für Zeile auf

  1. AA−1=A−1A=E,BB−1=B−1B=EA A^{-1} = A^{-1} A = E, \quad B B^{-1} = B^{-1} B = EVoraussetzung
  2. Probe 1: AB mal C (C von rechts)
  3. (AB) (B−1A−1)(AB)\,(B^{-1}A^{-1})
  4. Assoziativgesetz: Klammern versetzen, Reihenfolge bleibt
    =A (BB−1) A−1= A\,(B B^{-1})\,A^{-1}
  5. B B⁻¹ = E (Voraussetzung)
    =A E A−1= A\,E\,A^{-1}
  6. A E = A (E ändert nichts)
    =A A−1= A\,A^{-1}
  7. A A⁻¹ = E (Voraussetzung)
    =E= E
  8. Probe 2: C mal AB (C von links)
  9. (B−1A−1) (AB)(B^{-1}A^{-1})\,(AB)
  10. Assoziativgesetz: Klammern versetzen, Reihenfolge bleibt
    =B−1 (A−1A) B= B^{-1}\,(A^{-1} A)\,B
  11. A⁻¹ A = E (Voraussetzung)
    =B−1 E B= B^{-1}\,E\,B
  12. E B = B (E ändert nichts)
    =B−1 B= B^{-1}\,B
  13. B⁻¹ B = E (Voraussetzung)
    =E= E
  14. Schluss
  15. C=B−1A−1 ist eine Inverse von ABC = B^{-1}A^{-1} \text{ ist eine Inverse von } AB
  16. die Inverse ist eindeutig
    (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}gezeigt
LegendeZeile in diesem SchrittJede Zeile folgt aus der darüber; am Pfeil steht, warum.