Determinante einer 4×4-Matrix: Entwicklung und Gauß

Die Aufgabe

a) Berechnen Sie

\det\begin{pmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&0\\1&-20&1&0\\4&0&1&-1\end{pmatrix}

mit der Leibniz-Formel rekursiv.

b) Kontrollieren Sie Ihr Ergebnis mit dem Gauß-Algorithmus.

Die Determinante det(A) einer quadratischen Matrix A ist eine Kennzahl der Matrix: eine einzige Zahl. Sie ist genau dann ungleich null, wenn die Matrix den vollen Rang hat (Skript, Kapitel 5). Der Rang einer 4×4-Matrix ist die Zahl ihrer linear unabhängigen Zeilen. Voller Rang heißt Rang 4: Keine Zeile lässt sich aus den anderen Zeilen zusammensetzen.

Das Skript nennt den Entwicklungssatz von Laplace auch „Leibniz-Formel in der Form des Laplace’schen Entwicklungssatzes“. Gemeint ist ein rekursives Verfahren: Eine 4×4-Determinante wird auf 3×3-Determinanten zurückgeführt, diese auf 2×2-Determinanten. Eine 2×2-Determinante kann man direkt ausrechnen. Gemeint ist hier nicht die Summe über alle 24 (= 4·3·2·1) möglichen Anordnungen der Spaltennummern 1 bis 4, die die Leibniz-Formel im Original verwendet.

Merke: Rekursiv heißt: dieselbe Regel immer wieder anwenden, bis die Matrix so klein ist, dass man sie direkt ausrechnen kann (hier 2×2).

Der Weg:

Den Entwicklungssatz aufschreiben und eine Spalte mit vielen Nullen wählen.
Die 4×4-Determinante auf zwei 3×3-Determinanten zurückführen (zwei Terme sind null).
Jede 3×3-Determinante auf 2×2-Determinanten zurückführen und ausrechnen.
Alles zusammensetzen: Das ergibt det(A).
Zur Kontrolle A mit dem Gauß-Algorithmus auf Dreiecksform bringen und die Diagonale multiplizieren.

Der Entwicklungssatz

Entwicklung nach der j-ten Spalte (Skript, Kapitel 5.1)

\det(A)=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}\cdot a_{ij}\cdot\det(A_{ij})

Entwicklung nach der i-ten Zeile

\det(A)=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}\cdot a_{ij}\cdot\det(A_{ij})

Ende der Rekursion bei 2×2

\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=a\cdot d-b\cdot c

Der Entwicklungssatz führt eine n×n-Determinante auf mehrere (n−1)×(n−1)-Determinanten zurück. Dabei steht $a_{ij}$ für die Zahl in Zeile $i$ und Spalte $j$ . $A_{ij}$ ist die Matrix, die übrig bleibt, wenn man Zeile $i$ und Spalte $j$ aus A streicht.

Der Faktor $(-1)^{i+j}$ ist das Vorzeichen: plus, wenn $i+j$ gerade ist, minus, wenn es ungerade ist. Das Zeichen $\sum$ heißt: Addiere die Terme für $i=1,2,\dots,n$ . Bei $n=4$ sind das vier Terme, einer je Zeile $i$ . Man darf die Zeile oder Spalte, nach der man entwickelt, frei wählen. Das Ergebnis ist immer dasselbe.

Merke: Bei 2×2 hört das Verfahren auf, dort gilt

\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=a\cdot d-b\cdot c

Spalte 4 wählen

Die Matrix A mit der gewählten Spalte 4

A=\begin{pmatrix}1&2&3&\mathbf{4}\\5&6&7&\mathbf{0}\\1&-20&1&\mathbf{0}\\4&0&1&\mathbf{-1}\end{pmatrix}

Vorzeichen in Spalte 4

(-1)^{1+4}=-1,\quad(-1)^{2+4}=+1,\quad(-1)^{3+4}=-1,\quad(-1)^{4+4}=+1

Ein Term mit $a_{ij}=0$ ist null, egal wie groß die Determinante daneben ist. Für ihn muss man nichts ausrechnen. Darum wählt man die Zeile oder Spalte mit den meisten Nullen.

In A hat Spalte 4 zwei Nullen (Zeilen 2 und 3). Wir entwickeln also nach Spalte 4 ( $j=4$ ). Die vier Vorzeichen $(-1)^{i+4}$ für $i=1,2,3,4$ stehen unten.

Zeilen zählen wir von oben: Zeile 1, 2, 3, 4. Im Gauß-Teil b) heißen sie auch I, II, III, IV.

Determinante einer 4×4-Matrix: Entwicklung und Gauß

Die Aufgabe

Der Entwicklungssatz

Spalte 4 wählen

Die Matrizen

Abbildung 1Die Matrizen

1	2	3	4
5	6	7	0
1	−20	1	0
4	0	1	−1

5	6	7
1	−20	1
4	0	1

1	2	3
5	6	7
1	−20	1

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Der Entwicklungssatz

Schritt 2Spalte 4 wählen

Die Matrizen

Abbildung 1Die Matrizen

Die Aufgabe

Der Entwicklungssatz

Spalte 4 wählen