Determinante einer Bandmatrix als Rekursion

Die Aufgabe

Welche Determinante hat die folgende $n \times n$ -Matrix?

A_n = \begin{pmatrix} 1 & a & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ a & 1 & a & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & a & 1 & a & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & a \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & a & 1 \end{pmatrix}

Im Original stehen in den Zeilen 4 und 5 nur Doppelpunkte als Auslassung, und in Zeile 3 fehlt das $\cdots$ ; hier ergänzt. Gemeint ist dasselbe Muster bis zur letzten Zeile.

Die Matrix $A_n$ hat $n$ Zeilen und $n$ Spalten. Auf der Hauptdiagonale (von oben links nach unten rechts) steht überall 1. Direkt darüber und direkt darunter steht überall die Zahl $a$ . Alle anderen Einträge sind 0. Eine solche Matrix heißt Bandmatrix, weil die Einträge ungleich 0 ein schmales Band um die Diagonale bilden.

$a$ ist eine feste, aber beliebige reelle Zahl. Gesucht ist also keine Zahl, sondern ein Ausdruck in $a$ und $n$ . Wir kürzen ab:

d_n = \det(A_n)

Für jedes $n$ ist das eine eigene Matrix: $A_1$ ist $1 \times 1$ , $A_2$ ist $2 \times 2$ und so weiter. Für ein allgemeines $n$ können wir die Matrix nicht ausschreiben und direkt rechnen. Darum suchen wir einen Zusammenhang zwischen $d_n$ und den Determinanten der kleineren Matrizen.

Merke: Eine Rekursion gibt

d_n

durch frühere Werte an, hier durch

d_{n-1}

und

d_{n-2}

. Zusammen mit den Startwerten

d_1

und

d_2

legt sie jedes

d_n

fest.

So gehen wir vor:

$\det(A_n)$ nach der ersten Zeile entwickeln.
Die beiden entstehenden kleineren Determinanten durch $d_{n-1}$ und $d_{n-2}$ ausdrücken; daraus folgt die Rekursion.
Die Startwerte $d_1$ und $d_2$ direkt ausrechnen.
Die Rekursion an kleinen Matrizen prüfen.

Die Musterlösung gibt als Antwort ebenfalls die Rekursion mit Startwerten an. Eine geschlossene Formel (ohne frühere Werte) steht am Ende als Ergänzung.

Nach der ersten Zeile entwickeln

Entwicklung einer n×n-Matrix M nach Zeile 1, allgemein

\det(M) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} \cdot m_{1j} \cdot \det(S_{1j})

Erste Zeile von A_n: 1, a, 0, …, 0 eingesetzt

d_n = (-1)^{1+1} \cdot 1 \cdot \det(S_{11}) + (-1)^{1+2} \cdot a \cdot \det(S_{12}) + 0 + \dots + 0

d_n = (+1) \cdot 1 \cdot \det(S_{11}) + (-1) \cdot a \cdot \det(S_{12})

Aus Ü8 A2 („Determinante einer 4×4-Matrix: Entwicklung und Gauß“): Die Determinante einer

n \times n

-Matrix lässt sich nach einer Zeile entwickeln (Laplace-Entwicklung): Jeder Eintrag der Zeile wird mit einem Vorzeichen und mit der Determinante seiner Streichmatrix multipliziert. Die Streichmatrix

S_{ij}

ist die Matrix ohne Zeile

i

und ohne Spalte

j

. Das Vorzeichen ist

(-1)^{i+j}

. Nach einer Spalte geht es genauso. In Ü8 A2 hieß die Streichmatrix

A_{ij}

; hier heißt sie

S_{ij}

, damit sie nicht mit

A_n

verwechselt wird.

Warum die erste Zeile? Sie hat nur zwei Einträge ungleich 0: die 1 in Spalte 1 und das $a$ in Spalte 2. Alle anderen Summanden enthalten den Faktor 0 und fallen weg. Es bleiben also nur zwei kleinere Determinanten übrig.

In der allgemeinen Formel ist $m_{1j}$ der Eintrag in Zeile 1 und Spalte $j$ ; das Summenzeichen $\sum$ addiert die Summanden für $j = 1$ bis $n$ . Wir schreiben $m$ statt $a$ , damit keine Verwechslung mit der Zahl $a$ der Aufgabe entsteht.

Die Vorzeichen: an der Stelle (1, 1) ist $(-1)^{1+1} = +1$ , an der Stelle (1, 2) ist $(-1)^{1+2} = -1$ .

Erster Summand: wieder dieselbe Bandmatrix

Beispiel n = 5: Zeile 1 und Spalte 1 gestrichen

S_{11} = \begin{pmatrix} 1 & a & 0 & 0 \\ a & 1 & a & 0 \\ 0 & a & 1 & a \\ 0 & 0 & a & 1 \end{pmatrix} = A_4

Allgemein

S_{11} = A_{n-1} \quad\Rightarrow\quad (+1) \cdot 1 \cdot \det(S_{11}) = d_{n-1}

Wir streichen Zeile 1 und Spalte 1 von $A_n$ . Übrig bleiben die Zeilen und Spalten 2 bis $n$ . Dort steht wieder 1 auf der Diagonale, $a$ direkt daneben und sonst 0.

Das ist genau die Bandmatrix mit einer Zeile und einer Spalte weniger, also $A_{n-1}$ . Ihre Determinante ist nach unserer Abkürzung $d_{n-1}$ .

Determinante einer Bandmatrix als Rekursion

Die Aufgabe

Nach der ersten Zeile entwickeln

Erster Summand: wieder dieselbe Bandmatrix

Die Bandmatrix für n = 5

Abbildung 1Die Bandmatrix für n = 5

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Nach der ersten Zeile entwickeln

Schritt 2Erster Summand: wieder dieselbe Bandmatrix

Die Bandmatrix für n = 5

Abbildung 1Die Bandmatrix für n = 5

Die Aufgabe

Nach der ersten Zeile entwickeln

Erster Summand: wieder dieselbe Bandmatrix