Die Cramersche Regel beweisen

Die Aufgabe

Beweisen Sie die Cramersche Regel (Kapitel 5.3).

Satz · Cramersche Regel (Skript, Kapitel 5.3)

Sei ein lineares Gleichungssystem $A \cdot x = b$ eindeutig lösbar, d.h. $\operatorname{rang}(A) = n$ . Sei ferner die Matrix $A_i$ die Matrix, die entsteht, wenn man in der Matrix $A$ die $i$ -te Spalte durch $b$ ersetzt. Dann folgt für die $i$ -te Komponente $x_i$ des Lösungsvektors $x$

x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}

Die Matrix Aᵢ: in A steht b an der Stelle der i-ten Spalte

A_i = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1,i-1} & b_1 & a_{1,i+1} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n,i-1} & b_n & a_{n,i+1} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}

A_i = \big(a_1 \;\cdots\; a_{i-1} \;\; b \;\; a_{i+1} \;\cdots\; a_n\big)

Die Aufgabe nennt die Regel nicht selbst, sondern verweist auf Kapitel 5.3 des Skripts. Darum steht links der Satz aus dem Skript im Wortlaut.

Was gegeben ist: ein lineares Gleichungssystem $A \cdot x = b$ mit $n$ Gleichungen und $n$ Unbekannten $x_1, \ldots, x_n$ . $A$ ist also eine quadratische Matrix mit $n$ Zeilen und $n$ Spalten (kurz $n \times n$ ). Nur für quadratische Matrizen gibt es eine Determinante. $b$ ist die rechte Seite, $x$ der Vektor der Unbekannten. Das System hat genau eine Lösung $x$ ; das Skript sagt dazu „eindeutig lösbar“.

Der Rang von $A$ ist die Zahl der linear unabhängigen Spalten (sie ist gleich der Zahl der linear unabhängigen Zeilen). Warum ist er hier $n$ ? Wären die Spalten linear abhängig, gäbe es einen Vektor $y \neq 0$ mit $A \cdot y = 0$ . Dann wäre auch $x + y$ eine Lösung, denn $A \cdot (x + y) = b + 0 = b$ . Das System hätte also zwei verschiedene Lösungen. Weil es nur eine hat, sind alle $n$ Spalten linear unabhängig: $\operatorname{rang}(A) = n$ . Das meint das „d.h.“ im Satz.

Was gezeigt werden soll: Ersetzt man in $A$ die $i$ -te Spalte durch $b$ , heißt die neue Matrix $A_i$ . Dann ist die $i$ -te Unbekannte $x_i$ genau der Bruch $x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$ . Das soll für jedes $i$ von 1 bis $n$ gelten.

Merke: Die Idee des Beweises: Man findet eine Matrix

C_i

mit

A \cdot C_i = A_i

und

\det(C_i) = x_i

. Dann liefert die Produktregel für Determinanten die Behauptung.

So gehen wir vor:

Die Hilfsmatrix $C_i$ aufstellen.
Zeigen: $A \cdot C_i = A_i$ . Dafür zuerst zwei Regeln, wie man Matrizen Spalte für Spalte multipliziert.
Zeigen: $\det(C_i) = x_i$ .
Produktregel anwenden, dann durch $\det(A)$ teilen (dafür $\det(A) \neq 0$ begründen).
Die Regel an einem Beispiel mit zwei Unbekannten vorführen.

Die Hilfsmatrix Cᵢ

Einheitsmatrix, i-te Spalte durch x ersetzt

C_i = \big(e_1 \;\cdots\; e_{i-1} \;\; x \;\; e_{i+1} \;\cdots\; e_n\big)

C_i = \begin{pmatrix} 1 & \cdots & 0 & x_1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & & \vdots & & & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 & x_{i-1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & x_i & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & x_{i+1} & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & & \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & x_n & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}

Beispiel: n = 3, i = 2

C_2 = \begin{pmatrix} 1 & x_1 & 0 \\ 0 & x_2 & 0 \\ 0 & x_3 & 1 \end{pmatrix}

Ab jetzt ist $i$ eine feste, aber beliebige Zahl zwischen 1 und $n$ . Was wir für dieses $i$ zeigen, gilt damit für jedes $i$ .

Gesucht ist ein Zusammenhang zwischen $x_i$ und zwei Determinanten. Eine Regel, die Determinanten verbindet, ist die Produktregel $\det(A \cdot C) = \det(A) \cdot \det(C)$ . Sie hilft, wenn wir eine Matrix $C$ finden mit zwei Eigenschaften: $A \cdot C$ ist genau $A_i$ , und $\det(C)$ ist genau $x_i$ .

Der Hinweis der Musterlösung nennt diese Matrix. Der Einheitsvektor $e_j$ hat in Zeile $j$ eine 1 und sonst nur Nullen. Die Einheitsmatrix $E_n$ hat die Spalten $e_1, \ldots, e_n$ , also Einsen auf der Diagonale und sonst Nullen. In $E_n$ ersetzt man die $i$ -te Spalte durch den Lösungsvektor $x$ . Diese Matrix heißt $C_i$ . Es gibt sie, weil das System eine Lösung $x$ hat.

Matrix mal Vektor, Spalte für Spalte

A als Reihe ihrer Spalten

A = \big(a_1 \;\; a_2 \;\; \cdots \;\; a_n\big)

Matrix mal Vektor = Summe der gewichteten Spalten

A \cdot v = v_1 \, a_1 + v_2 \, a_2 + \cdots + v_n \, a_n

Fall 1: v = eⱼ, nur der Faktor vor aⱼ ist 1, alle anderen 0

A \cdot e_j = 0 \cdot a_1 + \cdots + 1 \cdot a_j + \cdots + 0 \cdot a_n = a_j

Fall 2: v = x, die Lösung des Systems

A \cdot x = x_1 \, a_1 + x_2 \, a_2 + \cdots + x_n \, a_n = b

Beispiel mit n = 2

\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 + 3 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \text{Spalte 1}

Um $A \cdot C_i$ auszurechnen, brauchen wir, was $A$ mit den Spalten von $C_i$ macht: mit $e_j$ und mit $x$ . Dafür schreiben wir $A$ als Reihe ihrer Spalten $a_1, \ldots, a_n$ . Die Zahl in Zeile $k$ und Spalte $j$ heißt $a_{kj}$ ; die Spalte $a_j$ enthält also $a_{1j}, \ldots, a_{nj}$ .

Für einen Vektor $v$ ist die $k$ -te Zahl von $A \cdot v$ gleich $a_{k1} v_1 + \cdots + a_{kn} v_n$ . Liest man das für alle Zeilen zugleich, steht da: $v_1$ mal Spalte 1 plus $v_2$ mal Spalte 2 und so weiter.

Zwei Fälle davon brauchen wir. Mit $v = e_j$ bleibt nur Spalte $j$ übrig: $A \cdot e_j = a_j$ . Und die Gleichung $A \cdot x = b$ sagt: Die Spalten von $A$ , gewichtet mit $x_1, \ldots, x_n$ , ergeben $b$ .

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Die Hilfsmatrix Cᵢ

Schritt 2Matrix mal Vektor, Spalte für Spalte

Beweis

Abbildung 1Beweis

Die Aufgabe

Die Hilfsmatrix Cᵢ

Matrix mal Vektor, Spalte für Spalte