Eigenwerte der transponierten und der inversen Matrix

Die Aufgabe

a) Zeigen Sie, dass die Eigenwerte einer $n \times n$ -Matrix $A$ gleich den Eigenwerten ihrer transponierten Matrix $A^T$ sind.

b) Für reguläre $n \times n$ -Matrizen $A$ gilt: Die Eigenwerte der Inversen $A^{-1}$ sind die Kehrwerte der Eigenwerte von $A$ . Beweisen Sie diese Aussage.

$A$ ist eine quadratische Matrix mit $n$ Zeilen und $n$ Spalten. Zwei Aussagen über ihre Eigenwerte sollen bewiesen werden. Ein Beweis muss für jede solche Matrix gelten. Ein Zahlenbeispiel hilft beim Verstehen, ersetzt den Beweis aber nicht.

a) $A^T$ (gesprochen „A transponiert“) entsteht aus $A$ , wenn man Zeilen und Spalten tauscht. Zu zeigen: $A^T$ und $A$ haben genau dieselben Eigenwerte.
b) $A$ ist regulär: Es gibt eine inverse Matrix $A^{-1}$ mit $A^{-1} \cdot A = A \cdot A^{-1} = E$ . $E$ ist die Einheitsmatrix (Einsen auf der Diagonale, sonst Nullen). Zu zeigen: Die Eigenwerte von $A^{-1}$ sind genau die Kehrwerte $\frac{1}{\lambda}$ der Eigenwerte $\lambda$ von $A$ .

So gehen wir vor:

Begriffe: Eigenwert, Eigenvektor und charakteristisches Polynom.
a) Das charakteristische Polynom von $A^T$ ist das von $A$ .
b) Vorarbeit: Eine reguläre Matrix hat nie den Eigenwert 0. Sonst gäbe es $\frac{1}{\lambda}$ gar nicht.
b) Richtung ⇒: Aus einem Eigenwert $\lambda$ von $A$ wird ein Eigenwert $\frac{1}{\lambda}$ von $A^{-1}$ .
b) Richtung ⇐: Jeder Eigenwert von $A^{-1}$ ist so ein Kehrwert.

Eigenwert und Eigenvektor

Definition: λ ist Eigenwert von A, x ein Eigenvektor dazu

A \cdot x = \lambda \cdot x \quad \text{mit } x \neq 0

Eine Matrix $A$ macht aus einem Vektor $x$ einen neuen Vektor $A \cdot x$ . Meist zeigt der neue Vektor in eine andere Richtung. Manche Vektoren werden aber nur gestreckt, gestaucht oder umgedreht (bei negativem Faktor). Sie bleiben auf ihrer Geraden. Für sie ist $A \cdot x$ ein Vielfaches von $x$ .

Den Faktor nennt man Eigenwert und schreibt ihn $\lambda$ (griechisch „lambda“). Den Vektor $x$ nennt man Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$ . Der Nullvektor zählt nicht: Für $x = 0$ gilt $A \cdot 0 = \lambda \cdot 0$ bei jeder Zahl $\lambda$ .

Beispiel rechts: $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ macht aus $x = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ den Vektor $\begin{pmatrix} 4 + 1 \\ 2 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix}$ . Das ist $5 \cdot x$ . Also ist 5 ein Eigenwert von $A$ .

Das charakteristische Polynom

Von der Definition zum charakteristischen Polynom

\begin{aligned} & A \cdot x = \lambda \cdot x \text{ für ein } x \neq 0 \\ \iff\ & A \cdot x - \lambda E \cdot x = 0 \text{ für ein } x \neq 0 \\ \iff\ & (A - \lambda E) \cdot x = 0 \text{ für ein } x \neq 0 \\ \iff\ & \operatorname{rang}(A - \lambda E) < n \\ \iff\ & p_A(\lambda) = \det(A - \lambda E) = 0 \end{aligned}

Für Teil a) brauchen wir eine zweite Art, Eigenwerte zu finden. Wir formen die Definition um. Jede Zeile rechts ist gleichwertig zur vorigen (Zeichen $\iff$ , „genau dann, wenn“). Das ist wichtig: So gilt das Ergebnis in beide Richtungen.

$\lambda \cdot x$ auf die linke Seite bringen. Dann $\lambda \cdot x$ als $(\lambda E) \cdot x$ schreiben, denn $E \cdot x = x$ . Erst jetzt stehen links zwei Matrizen mal $x$ , und man kann $x$ ausklammern.
$(A - \lambda E) \cdot x$ ist eine Summe der Spalten von $A - \lambda E$ , mit den Einträgen von $x$ als Faktoren. Ein $x \neq 0$ mit Ergebnis 0 gibt es genau dann, wenn die Spalten linear abhängig sind. Das heißt: Der Rang (die größte Zahl linear unabhängiger Spalten) ist kleiner als $n$ .
Rang kleiner als $n$ heißt nach Regel 4: Die Determinante ist 0.

Rechnet man $\det(A - \lambda E)$ aus (Leibniz-Formel, Ü8 A2), entstehen nur Produkte und Summen mit $\lambda$ . Das Ergebnis ist ein Polynom in $\lambda$ , im Beispiel vom Grad 2. Es heißt charakteristisches Polynom $p_A(\lambda)$ . Die Eigenwerte sind genau seine Nullstellen. Im Beispiel: $p_A(\lambda) = (4 - \lambda)(3 - \lambda) - 1 \cdot 2 = \lambda^2 - 7\lambda + 10$ mit den Nullstellen 2 und 5.

Aus Ü2 A4 („Lineare Unabhängigkeit im ℝ³ prüfen“): Vektoren sind linear abhängig, wenn eine Summe ihrer Vielfachen den Nullvektor ergibt, ohne dass alle Faktoren 0 sind.

Aus Ü8 A1 („Zehn Rechenregeln für Determinanten an 2×2-Matrizen nachweisen“): Regel 4:

\det(M) = 0 \iff \operatorname{rang}(M) < n

. Sie gilt für jede

n \times n

-Matrix

M

(Vorlesung, Kapitel 5.1). In Ü8 A1 haben wir sie für 2×2-Matrizen nachgerechnet; hier nutzen wir sie für

n \times n

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Eigenwert und Eigenvektor

Schritt 2Das charakteristische Polynom

Beispiel

Abbildung 1Beispiel

Die Aufgabe

Eigenwert und Eigenvektor

Das charakteristische Polynom