Matrix diagonalisieren: drei Beweise zu Eigenwerten

Die Aufgabe

Sei i.F. zur Vereinfachung $B$ die Basis des kartesischen Koordinatensystems des $\mathbb{R}^n$ . Die Darstellungsmatrix $A$ der linearen Abbildung $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ habe $n$ unterschiedliche, reelle Eigenwerte $\lambda_1, \lambda_2 \ldots \lambda_n$ . Wählt man eine neue Basis $B'$ so, dass diese aus den Eigenvektoren gebildet werden, dann ist die zugehörige Matrix $\underline{B}'$ die Matrix mit den Eigenvektoren als Spalten, also $\underline{B}' = [EV_1, EV_2 \ldots EV_n]$ .

a) Zeigen Sie, dass die Basistransformation $A' = \underline{B}'^{-1} \cdot A \cdot \underline{B}'$ zu der Diagonalmatrix $A' = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2 \ldots \lambda_n)$ führt. Das nennt man Matrixdiagonalisierung.

b) Hängen die Eigenwerte von der gewählten Basis $B'$ ab? Beweisen Sie Ihre Aussage.

c) Beweisen Sie den Satz, dass die Determinante einer Matrix gleich dem Produkt ihrer Eigenwerte ist, also $\det(A) = \prod_{i=1}^{n} \lambda_i$ .

„i.F.“ heißt „im Folgenden“. $A$ ist eine $n \times n$ -Matrix ( $n$ Zeilen, $n$ Spalten). Sie beschreibt die lineare Abbildung $f$ in den gewohnten Koordinaten (Basis $B$ aus den Einheitsvektoren).

Eine Zahl $\lambda$ (griechisch „lambda“) ist ein Eigenwert von $A$ , wenn es einen Vektor $v \neq 0$ gibt mit $A \cdot v = \lambda \cdot v$ . Der Vektor $v$ heißt Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$ : $A$ streckt ihn nur, um den Faktor $\lambda$ .

Aus Ü9 A1 („Eigenwerte der transponierten und der inversen Matrix“): Die Eigenwerte von

A

sind genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms

\det(A - \lambda E)

E

ist die Einheitsmatrix (Einsen auf der Diagonale, sonst Nullen). Beispiel dort:

A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}

hat die Eigenwerte 2 und 5.

Schreibweise: Die Eigenvektoren heißen im Original $EV_i$ , wir schreiben kurz $v_i$ . Es gilt also $A \cdot v_i = \lambda_i \cdot v_i$ und $v_i \neq 0$ . Unterstrichen $\underline{B}'$ ist die Matrix mit diesen Vektoren als Spalten, ohne Strich $B'$ die Basis selbst. $\operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$ ist die Diagonalmatrix mit $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ auf der Diagonale und sonst Nullen. Wir nennen sie kurz $D$ .

Der Weg:

a) $A \cdot \underline{B}' = \underline{B}' \cdot D$ Spalte für Spalte zeigen (Schritte 1–3).
a) Hilfssatz: Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig. Darum gibt es $\underline{B}'^{-1}$ (Schritte 4–7).
a) Mit $\underline{B}'^{-1}$ von links multiplizieren, dann das Beispiel (Schritte 8–11).
b) Antwort: Nein. Beweis über das charakteristische Polynom, dann das Beispiel (Schritte 12–16).
c) Mit a) und Ü8 A4 die Determinante ausrechnen, dann das Beispiel (Schritte 17–21).

Merke:

A \cdot v_i = \lambda_i \cdot v_i

für jede Spalte zusammen ergibt die Matrixgleichung

A \cdot \underline{B}' = \underline{B}' \cdot D

. Alles andere folgt daraus.

Matrix diagonalisieren: drei Beweise zu Eigenwerten

Die Aufgabe

A · B′ Spalte für Spalte

In jeder Spalte die Eigenwertgleichung einsetzen

Beweis: A · B′ = B′ · D

Abbildung 1a) Spalte für Spalte: A · B′ = B′ · D

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1A · B′ Spalte für Spalte

Schritt 2In jeder Spalte die Eigenwertgleichung einsetzen

Beweis: A · B′ = B′ · D

Abbildung 1a) Spalte für Spalte: A · B′ = B′ · D

Die Aufgabe

A · B′ Spalte für Spalte

In jeder Spalte die Eigenwertgleichung einsetzen