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LAG · Übungsblatt 10 · Aufgabe 1

Normen: 1-Norm, 2-Norm und ∞-Norm

Eine Norm ist eine Vorschrift, die jedem Vektor eine Länge zuordnet. Die gewohnte Länge nach Pythagoras ist nur eine Möglichkeit. Hier rechnen wir drei Normen an einem Vektor aus, zeichnen für jede die Menge der Vektoren mit Länge 1 und beweisen für zwei von ihnen die Regeln, die jede Norm erfüllen muss. Der ganze Lösungsweg steht offen da, die Erklärung gehört jeweils zum aktuellen Schritt. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Die Aufgabe

Man kann zeigen, dass im endlichdimensionalen, reellen Vektorraum V=RnV = \mathbb{R}^n mit u∈Vu \in V und p∈Rp \in \mathbb{R}

∥u∥p:=(∑i=1n∣ui∣p)1/p,  p≥1\|u\|_p := \left(\sum_{i=1}^{n} |u_i|^p\right)^{1/p},\; p \ge 1

die Bedingungen (Axiome) für eine Norm erfüllen. Speziell p=1p = 1, p=2p = 2 und p→∞p \to \infty finden häufig Anwendung.

  • p=1p = 1: Betragssummennorm oder 1-Norm genannt. ∥u∥1=∑i=1n∣ui∣\|u\|_1 = \sum_{i=1}^{n} |u_i|
  • p=2p = 2: Euklidische Norm oder 2-Norm genannt. ∥u∥2=∑i=1n(ui)2\|u\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (u_i)^2}
  • p→∞p \to \infty: Maximumsnorm oder ∞-Norm genannt. ∥u∥∞=Max⁡i∣ui∣\|u\|_\infty = \operatorname{Max}_i |u_i|.
  1. Geben Sie für den Vektor u=(1−20)u = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} die drei Normwerte an.
  2. Der Einheitskreis ist definiert zu {u∣∥u∥p=1}\{u \mid \|u\|_p = 1\}. Geben Sie im R2\mathbb{R}^2 die Darstellung der Einheitskreise für jede der drei Normen an.
  3. Zeigen Sie für die 1-Norm, dass die Normaxiome (N1, N2, N3) erfüllt sind und geben Sie im R2\mathbb{R}^2 eine geometrische Veranschaulichung des Normaxioms N2 (Dreiecksungleichung) an.
  4. Der Beweis der Erfüllung der Normaxiome für die 2-Norm wurde in der Vorlesung erbracht. Geben Sie im R2\mathbb{R}^2 eine geometrische Veranschaulichung des Normaxioms N2 (Dreiecksungleichung) an.
  5. Zeigen Sie für die ∞-Norm, dass die Normaxiome (N1, N2, N3) erfüllt sind und geben Sie im R2\mathbb{R}^2 eine geometrische Veranschaulichung des Normaxioms N2 (Dreiecksungleichung) an.

Ein Vektor uu im Rn\mathbb{R}^n ist eine Liste von nn Zahlen u1,u2,…,unu_1, u_2, \ldots, u_n, seinen Komponenten. Die Aufgabe stellt drei Arten vor, aus diesen Zahlen eine Länge zu machen. Alle drei benutzen den Betrag ∣ui∣|u_i|: die Zahl ohne ihr Vorzeichen, also ihr Abstand von 0 auf dem Zahlenstrahl.

  • 1-Norm ∥u∥1\|u\|_1: alle Beträge addieren.
  • 2-Norm ∥u∥2\|u\|_2: Wurzel aus der Summe der Quadrate, die gewohnte Länge nach Pythagoras.
  • ∞-Norm ∥u∥∞\|u\|_\infty (sprich „unendlich-Norm“): der größte Betrag.

Die doppelten Striche ∥⋅∥\|\cdot\| stehen für eine Norm, die Zahl unten sagt, welche. Gesucht sind: a) die drei Normen eines Vektors, b) für jede Norm die Form des „Einheitskreises“, c) und e) ein Beweis der Normaxiome für die 1- und die ∞-Norm, c) bis e) je ein Bild zur Dreiecksungleichung in der Ebene.

Merke: Eine Norm ordnet jedem Vektor eine Länge zu. Damit diese Zahl den Namen „Länge“ verdient, muss sie drei Regeln erfüllen, die Normaxiome N1 bis N3.

So gehen wir vor:

  1. Teil a): Beträge der Komponenten bilden, dann jede der drei Normen ausrechnen.
  2. Teil b): für jede Norm die Gleichung „Norm = 1“ in der Ebene aufstellen und zeichnen.
  3. Teil c): die Normaxiome kennenlernen und für die 1-Norm beweisen, dann ein Bild.
  4. Teil d): das Bild der Dreiecksungleichung für die 2-Norm, ein Dreieck.
  5. Teil e): die Normaxiome für die ∞-Norm beweisen, dann ein Bild.

Die Beträge der Komponenten

Betrag = Zahl ohne Vorzeichen
∣u1∣=∣1∣=1,∣u2∣=∣−2∣=2,∣u3∣=∣0∣=0|u_1| = |1| = 1, \qquad |u_2| = |-2| = 2, \qquad |u_3| = |0| = 0

Alle drei Normen rechnen nur mit den Beträgen der Komponenten. Deshalb bilden wir sie zuerst. Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand von 0. Er lässt das Vorzeichen weg und ist nie negativ.

Der Vektor uu hat die Komponenten u1=1u_1 = 1, u2=−2u_2 = -2 und u3=0u_3 = 0. Weil u3=0u_3 = 0 ist, liegt uu in der Ebene der ersten beiden Achsen. So lässt er sich rechts flach zeichnen.

1-Norm: die Beträge addieren

Definition der 1-Norm, dann die Beträge aus Schritt 1 einsetzen
∥u∥1=∣u1∣+∣u2∣+∣u3∣=1+2+0=3\|u\|_1 = |u_1| + |u_2| + |u_3| = 1 + 2 + 0 = 3

Die 1-Norm addiert alle Beträge. Im Bild ist das die Länge eines Treppenwegs, der nur parallel zu den Achsen läuft: 1 nach rechts und 2 nach unten, zusammen 3. Ohne Beträge käme 1−2+0=−11 - 2 + 0 = -1 heraus, und eine Länge kann nicht negativ sein.

Noch 22 Schritte bis zum Ergebnis
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Der Vektor u

u liegt in der Ebene x₃ = 0

Abbildung 1Der Vektor u

u liegt in der Ebene x₃ = 0

|u₁| = 1|u₂| = 2u(1, −2, 0)
Legendein diesem Schritt gemeintu = (1, −2, 0) hat die dritte Komponente 0. Deshalb liegt u in der Ebene der x₁- und der x₂-Achse.