Die Winkel eines Vierecks

Die Aufgabe

Gegeben seien die folgenden Vektoren, die die Ecken eines Viereckes beschreiben.

A = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix},\quad D = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}.

Seien $\alpha$ , $\beta$ , $\chi$ und $\delta$ die Winkel an den Ecken A, B, C und D des Viereckes.

Berechnen Sie die vier Winkel $\alpha$ , $\beta$ , $\chi$ und $\delta$ mit Hilfe des Skalarproduktes.

Vier Punkte der Ebene sind gegeben. Jeder Punkt hat zwei Zahlen: die obere sagt, wie weit er nach rechts liegt, die untere, wie weit nach oben. Verbindet man die Punkte der Reihe nach ( $A$ mit $B$ , $B$ mit $C$ , $C$ mit $D$ , $D$ mit $A$ ), entsteht ein Viereck. Gesucht ist der Winkel im Inneren des Vierecks an jeder der vier Ecken, in Grad.

Hinweis zur Schreibweise: Im Aufgabentext heißt der Winkel an der Ecke $C$ „ $\chi$ “ (chi). Gemeint ist $\gamma$ (gamma): Das ist der dritte griechische Buchstabe der Reihe $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ , und so steht er auch in der Musterlösung. Wir schreiben deshalb $\gamma$ .

Merke: Den Winkel an einer Ecke bestimmen wir aus den beiden Pfeilen, die von dieser Ecke zu den Nachbarecken zeigen. Beide Pfeile müssen in der Ecke beginnen.

So gehen wir vor:

Die Formel für den Winkel zwischen zwei Pfeilen kennenlernen.
Festlegen, welche Pfeile an einer Ecke zu bilden sind.
Für jede Ecke die zwei Pfeile bilden, das Skalarprodukt und die Längen ausrechnen und den Winkel bestimmen (je ein Schritt für $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\delta$ ).
Probe: Die Winkelsumme muss 360° sein.

Die Formel für den Winkel zwischen zwei Pfeilen

Skalarprodukt in der Ebene

\left\langle \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} \right\rangle = u_1 v_1 + u_2 v_2

Länge eines Pfeils

\lVert u\rVert = \sqrt{u_1^2 + u_2^2}

Winkel φ zwischen u und v (beide beginnen im selben Punkt)

\cos\varphi = \frac{\langle u, v\rangle}{\lVert u\rVert \cdot \lVert v\rVert} \qquad\Longrightarrow\qquad \varphi = \arccos\frac{\langle u, v\rangle}{\lVert u\rVert \cdot \lVert v\rVert}

Merke: Skalarprodukt positiv: Winkel kleiner als 90°. Null: genau 90°. Negativ: Winkel größer als 90°.

Wir bauen die Formel aus drei Teilen. Alle drei brauchen wir später für jede Ecke.

1. Das Skalarprodukt $\langle u, v\rangle$ zweier Pfeile $u = (u_1, u_2)$ und $v = (v_1, v_2)$ ist eine einzelne Zahl: Wir multiplizieren die oberen Zahlen, multiplizieren die unteren Zahlen und addieren beide Ergebnisse. Beispiel mit $u = (2, 1)$ und $v = (1, 3)$ : $2 \cdot 1 + 1 \cdot 3 = 5$ .

2. Die Länge $\lVert u\rVert$ (auch Betrag oder Norm genannt) ist die Länge des Pfeils. Nach dem Satz des Pythagoras ist sie die Wurzel aus der Summe der Quadrate beider Zahlen. Das Skalarprodukt eines Pfeils mit sich selbst ist genau diese Summe, also $\lVert u\rVert = \sqrt{\langle u, u\rangle}$ .

3. Der Winkel. Der Winkel $\varphi$ (phi) zwischen zwei Pfeilen mit gemeinsamem Anfang erfüllt die Formel unten. Sie ist die Definition des Winkels über das Skalarprodukt. Wir teilen durch die beiden Längen, damit nur die Richtung der Pfeile zählt und nicht, wie lang sie gezeichnet sind. $\cos$ ist der Kosinus: eine Zahl zwischen −1 und 1, die zum Winkel gehört. Um aus dem Kosinus den Winkel zu bekommen, nehmen wir die Umkehrfunktion $\arccos$ (Arkuskosinus). Am Taschenrechner ist das die Taste $\cos^{-1}$ , im Gradmodus (DEG).

Das Vorzeichen des Skalarprodukts verrät schon vorab die Art des Winkels: positiv heißt spitzer Winkel (kleiner als 90°), null heißt rechter Winkel, negativ heißt stumpfer Winkel (größer als 90°). Mit dieser Faustregel können wir jedes Ergebnis gleich auf Plausibilität prüfen.

Kantenvektoren: Pfeile von der Ecke weg

Kantenvektor von P nach Q: Spitze minus Fuß

\overrightarrow{PQ} = Q - P = \begin{pmatrix} q_1 - p_1 \\ q_2 - p_2 \end{pmatrix}

Die Pfeile an jeder Ecke

\begin{array}{c|c|c} \text{Ecke} & \text{Nachbarn} & \text{Pfeile von der Ecke weg} \\ \hline A & B,\ D & \overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AD} \\ B & A,\ C & \overrightarrow{BA},\ \overrightarrow{BC} \\ C & B,\ D & \overrightarrow{CB},\ \overrightarrow{CD} \\ D & C,\ A & \overrightarrow{DC},\ \overrightarrow{DA} \end{array}

Ein Kantenvektor ist der Pfeil, der entlang einer Kante des Vierecks von einer Ecke zur nächsten läuft. Den Pfeil von $P$ nach $Q$ schreiben wir $\overrightarrow{PQ}$ . Wir rechnen ihn aus als Spitze minus Fuß: $Q$ minus $P$ , jede Zahl einzeln. Das ist der Weg, den man von $P$ aus gehen muss, um bei $Q$ anzukommen.

Warum von der Ecke weg? Die Winkelformel aus dem letzten Schritt gilt für zwei Pfeile mit gemeinsamem Anfang. Der Innenwinkel an einer Ecke ist der Winkel zwischen den zwei Kanten, die dort zusammenstoßen. Also müssen beide Pfeile in der Ecke beginnen und zu den beiden Nachbarn zeigen. Dreht man einen der beiden Pfeile um (Pfeil zur Ecke hin), erhält man den Ergänzungswinkel zu 180° und nicht den Innenwinkel.

Die Ecken sind der Reihe nach verbunden: $A$ – $B$ – $C$ – $D$ – zurück zu $A$ . Die Nachbarn jeder Ecke stehen in der Tabelle.

Ein Beispiel für „Spitze minus Fuß“: Der Pfeil von $A = (1, 2)$ nach $B = (3, 1)$ ist $\overrightarrow{AB} = B - A = (3 - 1,\ 1 - 2) = (2, -1)$ : zwei nach rechts, eine nach unten. Das Viereck hat keine nach innen geknickte Ecke; das bestätigt die Probe am Ende.

Die Winkel eines Vierecks

Die Aufgabe

Die Formel für den Winkel zwischen zwei Pfeilen

Kantenvektoren: Pfeile von der Ecke weg

Das Viereck ABCD

Abbildung 1Das Viereck ABCD

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Die Formel für den Winkel zwischen zwei Pfeilen

Schritt 2Kantenvektoren: Pfeile von der Ecke weg

Das Viereck ABCD

Abbildung 1Das Viereck ABCD

Die Aufgabe

Die Formel für den Winkel zwischen zwei Pfeilen

Kantenvektoren: Pfeile von der Ecke weg