studyklar
LAG · Übungsblatt 10 · Aufgabe 5

Einheitsvektoren im ℝ³: Skalarprodukt und Kreuzprodukt

Im Raum gibt es drei besonders einfache Pfeile: je einer der Länge 1 auf der x-, der y- und der z-Achse. Wir fragen, wie diese drei Pfeile zueinander stehen, wenn man sie mit dem Skalarprodukt (liefert eine Zahl) und mit dem Kreuzprodukt (liefert wieder einen Pfeil) verknüpft. Beim Skalarprodukt kommt heraus: senkrecht und Länge 1. Beim Kreuzprodukt gilt eine Regel, die sich mit der rechten Hand merken lässt. Der ganze Lösungsweg steht offen da, die Erklärung gehört jeweils zum aktuellen Schritt. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Die Aufgabe

In welcher Beziehung bzgl. des Skalar- und des Kreuzproduktes stehen die drei Basisvektoren e⃗x,e⃗y,e⃗z\vec e_x, \vec e_y, \vec e_z des kartesischen Koordinatensystems im R3\mathbb{R}^3?

Ein Vektor im Raum R3\mathbb{R}^3 ist ein Pfeil mit drei Zahlen: die erste geht entlang der x-Achse, die zweite entlang der y-Achse, die dritte entlang der z-Achse. Die drei Basisvektoren des kartesischen Koordinatensystems (der Raum mit den drei senkrechten Achsen) sind die Pfeile der Länge 1 genau auf diesen Achsen. Man nennt sie auch Einheitsvektoren.

„Bzgl.“ heißt „bezüglich“. Gefragt ist also: Was kommt heraus, wenn man je zwei dieser Pfeile mit dem Skalarprodukt verknüpft, und was, wenn man sie mit dem Kreuzprodukt verknüpft? Die Frage ist offen gestellt. Wir beantworten sie vollständig: alle Skalarprodukte und alle Kreuzprodukte.

Merke: Das Skalarprodukt macht aus zwei Vektoren eine Zahl, das Kreuzprodukt macht aus zwei Vektoren einen neuen Vektor, der auf beiden senkrecht steht.

So gehen wir vor:

  1. Skalarprodukt: die drei Pfeile hinschreiben und die Rechenvorschrift erklären.
  2. Skalarprodukt: je zwei verschiedene Pfeile, Ergebnis 0 (senkrecht).
  3. Skalarprodukt: jeder Pfeil mit sich selbst, Ergebnis 1 (Länge 1).
  4. Kreuzprodukt: Formel und Rechte-Hand-Regel.
  5. Kreuzprodukt: die drei Produkte in der Reihenfolge x → y → z → x, jedes mit Rechnung.
  6. Kreuzprodukt: vertauschte Reihenfolge, Vorzeichen wechselt.
  7. Vergleich mit der Musterlösung: dort steht bei e_y × e_z ein falsches Vorzeichen.

Die drei Basisvektoren und das Skalarprodukt

Die drei Basisvektoren: je eine 1 an einer Stelle, sonst 0
e⃗x=(100),e⃗y=(010),e⃗z=(001)\vec e_x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \vec e_y = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \vec e_z = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
Skalarprodukt zweier Vektoren a und b im ℝ³ (a₁, a₂, a₃ und b₁, b₂, b₃ sind ihre Einträge)
⟨a,b⟩=a1b1+a2b2+a3b3\langle a, b \rangle = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3

e⃗x\vec e_x hat als Einträge 1, 0, 0: ein Schritt der Länge 1 in x-Richtung, sonst nichts. Genauso hat e⃗y\vec e_y die Einträge 0, 1, 0 und e⃗z\vec e_z die Einträge 0, 0, 1.

Das Skalarprodukt zweier Vektoren multipliziert die Einträge an derselben Stelle und addiert die drei Produkte. Es ergibt eine einzelne Zahl.

Aus Ü10 A3 („Orthogonale Vektoren im ℝ³: Skalarprodukt und Vektor senkrecht zu zweien“): Zwei Vektoren sind genau dann orthogonal (senkrecht), wenn ihr Skalarprodukt 0 ist. Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist das Quadrat seiner Länge: ∥v∥2=⟨v,v⟩\|v\|^2 = \langle v, v \rangle.

Zwei verschiedene Basisvektoren: Skalarprodukt 0

Paar eₓ, e_y: Einträge (1, 0, 0) und (0, 1, 0)
⟨e⃗x,e⃗y⟩=1⋅0+0⋅1+0⋅0=0+0+0=0\langle \vec e_x, \vec e_y \rangle = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 0 + 0 + 0 = 0
Paar eₓ, e_z: Einträge (1, 0, 0) und (0, 0, 1)
⟨e⃗x,e⃗z⟩=1⋅0+0⋅0+0⋅1=0+0+0=0\langle \vec e_x, \vec e_z \rangle = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0 + 0 + 0 = 0
Paar e_y, e_z: Einträge (0, 1, 0) und (0, 0, 1)
⟨e⃗y,e⃗z⟩=0⋅0+1⋅0+0⋅1=0+0+0=0\langle \vec e_y, \vec e_z \rangle = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0 + 0 + 0 = 0
Also paarweise senkrecht
e⃗x⊥e⃗y,e⃗x⊥e⃗z,e⃗y⊥e⃗z\vec e_x \perp \vec e_y, \qquad \vec e_x \perp \vec e_z, \qquad \vec e_y \perp \vec e_z

Es gibt drei Paare verschiedener Vektoren: e⃗x,e⃗y\vec e_x, \vec e_y, e⃗x,e⃗z\vec e_x, \vec e_z und e⃗y,e⃗z\vec e_y, \vec e_z. Die Reihenfolge ändert beim Skalarprodukt nichts, denn die Produkte der Einträge bleiben dieselben. Mehr Paare gibt es nicht.

In jedem Paar steht an jeder Stelle mindestens eine 0. Jedes Produkt ist also 0, und die Summe auch. Nach der Regel aus dem letzten Schritt heißt das: Je zwei verschiedene Basisvektoren sind orthogonal.

Noch 9 Schritte bis zum Ergebnis
Den ganzen Lösungsweg sehen Studierende und Lehrende der HS KL. Registriere dich mit deiner Adresse @stud.hs-kl.de oder @hs-kl.de, dann geht es hier direkt weiter.
Registrieren

Die drei Einheitsvektoren im Raum

alles ist von Anfang an eingezeichnet

Abbildung 1Die drei Einheitsvektoren im Raum

alles ist von Anfang an eingezeichnet

xy-Ebeneyz-Ebenezx-Ebeneeₓe_ye_z
Legendein diesem Schritt gemeintDie drei Einheitsvektoren eₓ, e_y, e_z auf den Achsen und die Flächen zwischen je zwei von ihnen.