Kreuzprodukt im ℝ³: Parallelogrammfläche, Spatvolumen und Rechenregeln

Die Aufgabe

Betrachtet werden die drei Vektoren des $\mathbb{R}^3$

u = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}, \quad v = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad w = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}.

Berechnen Sie $u \times v$ und $v \times u$ . Was fällt auf?
Berechnen Sie $v \times w$ .
Berechnen Sie die Fläche des von den Vektoren $v$ und $w$ aufgespannten Parallelogramms.
Berechnen Sie $(u \times v) \times (v \times u)$ .
Berechnen Sie $u \times (v \times w)$ und $(u \times v) \times w$ . Was fällt auf?
Berechnen Sie das Volumen des durch $u, v, w$ gebildeten Spats.

Im Original steht für das Kreuzprodukt der Buchstabe „x“; wir schreiben das übliche Zeichen $\times$ .

Gegeben sind drei Vektoren $u, v, w$ im Raum $\mathbb{R}^3$ . Ein Vektor im Raum ist ein Pfeil mit drei Zahlen: die drei Zahlen sind die Anteile in den Richtungen $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ ; die Grafik zeigt sie als Achsen (negativ heißt die Gegenrichtung).

Gesucht sind sechs Dinge: zwei Kreuzprodukte zum Vergleich (a), ein weiteres (b), eine Fläche (c), ein Kreuzprodukt von zwei Kreuzprodukten (d), zwei Kreuzprodukte mit verschiedenen Klammern (e) und ein Volumen (f).

Merke: Das Kreuzprodukt

a \times b

zweier Vektoren im

\mathbb{R}^3

ist wieder ein Vektor, keine einzelne Zahl. Seine Länge ist die Fläche des Parallelogramms aus

a

und

b

. Die Reihenfolge und die Klammern spielen eine Rolle.

So gehen wir vor:

Teil a): die Rechenvorschrift des Kreuzprodukts lernen, $u \times v$ und $v \times u$ ausrechnen und vergleichen.
Teil b): $v \times w$ mit derselben Vorschrift.
Teil c): die Fläche des Parallelogramms als Länge von $v \times w$ bestimmen.
Teil d): $(u \times v) \times (v \times u)$ ausrechnen und begründen.
Teil e): die beiden Klammervarianten ausrechnen und vergleichen.
Teil f): das Volumen des Spats mit dem Spatprodukt berechnen und mit der Determinante kontrollieren.

Die Rechenvorschrift des Kreuzprodukts

Rechenvorschrift (a₁, a₂, a₃ sind die Einträge von a, b₁, b₂, b₃ die von b)

\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}

Für $u \times v$ ist $a = u$ und $b = v$ ; für $v \times u$ ist $a = v$ und $b = u$ .

Das Kreuzprodukt macht aus zwei Vektoren $a$ und $b$ im Raum einen neuen Vektor $a \times b$ . Man rechnet es Komponente für Komponente aus: Die Komponenten sind die drei Zahlen untereinander, also die erste, zweite und dritte Zeile des Vektors.

Jede Komponente des Ergebnisses besteht aus zwei Produkten, die man voneinander abzieht. Die Indizes laufen im Kreis weiter: für die erste Komponente 2 und 3, für die zweite 3 und 1, für die dritte 1 und 2. Genau das ist das Rechenschema; die zweite Komponente sieht deshalb „verdreht“ aus ( $a_3 b_1 - a_1 b_3$ , nicht $a_1 b_3 - a_3 b_1$ ).

Merke: Komponente

k

nimmt die beiden anderen Zeilen

i

und

j

in der Reihenfolge des Kreises 1 → 2 → 3 → 1 und rechnet

a_i b_j - a_j b_i

. Für

k = 1

ist

(i, j) = (2, 3)

, für

k = 2

ist

(i, j) = (3, 1)

, für

k = 3

ist

(i, j) = (1, 2)

. Die Reihenfolge von

a

und

b

ist wichtig.

u × v ausrechnen

Einsetzen: u = (2, 1, 4), v = (−2, 5, 0)

\begin{aligned} (u \times v)_1 &= u_2 v_3 - u_3 v_2 = 1 \cdot 0 - 4 \cdot 5 = 0 - 20 = -20 \\ (u \times v)_2 &= u_3 v_1 - u_1 v_3 = 4 \cdot (-2) - 2 \cdot 0 = -8 - 0 = -8 \\ (u \times v)_3 &= u_1 v_2 - u_2 v_1 = 2 \cdot 5 - 1 \cdot (-2) = 10 + 2 = 12 \end{aligned}

u \times v = \begin{pmatrix} -20 \\ -8 \\ 12 \end{pmatrix}

Wir setzen $u = (2, 1, 4)$ und $v = (-2, 5, 0)$ in die drei Zeilen der Vorschrift ein. Erst die Zahlen mit den Klammern, dann das Ergebnis. Vorzeichenfehler passieren hier am häufigsten: Ein Minus vor einer negativen Zahl wird zum Plus.

Aus Ü10 A3 („Orthogonale Vektoren im ℝ³: Skalarprodukt und Vektor senkrecht zu zweien“): Das Skalarprodukt multipliziert gleiche Stellen und addiert; zwei Vektoren stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn es 0 ist.

Probe: $\langle u, u \times v \rangle = 2 \cdot (-20) + 1 \cdot (-8) + 4 \cdot 12 = -40 - 8 + 48 = 0$ und $\langle v, u \times v \rangle = (-2) \cdot (-20) + 5 \cdot (-8) + 0 \cdot 12 = 40 - 40 + 0 = 0$ . Der Pfeil $u \times v$ steht also senkrecht auf $u$ und auf $v$ .

Kreuzprodukt im ℝ³: Parallelogrammfläche, Spatvolumen und Rechenregeln

Die Aufgabe

Die Rechenvorschrift des Kreuzprodukts

u × v ausrechnen

u, v und ihre Kreuzprodukte

Abbildung 1u, v und ihre Kreuzprodukte

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Die Rechenvorschrift des Kreuzprodukts

Schritt 2u × v ausrechnen

u, v und ihre Kreuzprodukte

Abbildung 1u, v und ihre Kreuzprodukte

Die Aufgabe

Die Rechenvorschrift des Kreuzprodukts

u × v ausrechnen