Die Fläche eines Dreiecks im Raum

Die Aufgabe

Die Punkte $A = (1, 3, 4)$ , $B = (-2, 2, 5)$ und $C = (4, 6, 3)$ bilden ein Dreieck im $\mathbb{R}^3$ . Berechnen Sie die Dreiecksfläche mit Hilfe des Vektorproduktes.

Drei Punkte im Raum sind gegeben. Jeder Punkt hat drei Zahlen: wie weit er in der ersten, zweiten und dritten Richtung liegt. Verbindet man die drei Punkte, entsteht ein Dreieck, das schräg im Raum liegt. Gesucht ist die Fläche dieses Dreiecks, und zwar mit dem Vektorprodukt. Das ist ein anderer Name für das Kreuzprodukt.

Merke: Die Länge des Kreuzprodukts zweier Pfeile ist die Fläche des Parallelogramms aus diesen Pfeilen. Das Dreieck ist die Hälfte davon.

So gehen wir vor:

Die Idee und die Formel für die Fläche kennenlernen.
Das Kreuzprodukt als Rechenregel aufschreiben.
Zwei Kantenvektoren von einer Ecke aus bilden.
Das Kreuzprodukt ausrechnen, Komponente für Komponente.
Seine Länge berechnen.
Halbieren: Fläche exakt (mit Wurzel) und gerundet.
Probe von einer anderen Ecke aus.
Zusätzlich: prüfen, dass das Kreuzprodukt wirklich senkrecht steht.

Die Idee: das halbe Parallelogramm

Fläche des Parallelogramms aus u und v (F steht für Fläche)

F_{\text{Parallelogramm}} = \lVert u\rVert\cdot\lVert v\rVert\cdot\sin\varphi = \lVert u \times v \rVert

Fläche des Dreiecks ABC: die Hälfte, mit u = AB und v = AC

F = \frac{1}{2}\,\lVert \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \rVert

Merke: Dreiecksfläche = ½ · Länge des Kreuzprodukts zweier Kantenvektoren von derselben Ecke.

Zwei Pfeile $u$ und $v$ mit gemeinsamem Anfang spannen ein Parallelogramm auf: ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten parallel sind. Legt man eine Diagonale hinein, zerfällt es in zwei gleich große Dreiecke. Das Dreieck mit den Seiten $u$ und $v$ hat also die halbe Fläche des Parallelogramms.

Die Fläche des Parallelogramms ist „Grundseite mal Höhe“. Mit dem Winkel $\varphi$ (phi) zwischen den Pfeilen ist die Grundseite $\lVert u\rVert$ und die Höhe $\lVert v\rVert \cdot \sin\varphi$ . Dabei ist $\sin\varphi$ der Sinus des Winkels: In einem rechtwinkligen Dreieck ist er Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse. Hier ist $v$ die Hypotenuse und die Höhe die Gegenkathete zu $\varphi$ .

Eine Eigenschaft des Kreuzprodukts (aus der Vorlesung, Kap. 7.3, und Ü10 A6) nehmen wir als gegeben: Seine Länge ist $\lVert u \times v\rVert = \lVert u\rVert \cdot \lVert v\rVert \cdot \sin\varphi$ , also genau Grundseite mal Höhe. Darum brauchen wir die Höhe nie selbst zu suchen: Das Kreuzprodukt liefert die Fläche gleich mit.

Aus Ü10 A2 („Die Winkel eines Vierecks“): Die Länge (der Betrag) eines Pfeils

u

ist

\lVert u\rVert = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + \dots}

: die Wurzel aus der Summe der Quadrate aller Zahlen. Im Raum kommt die dritte Zahl dazu.

Das Kreuzprodukt als Rechenregel

Kreuzprodukt, Komponente für Komponente

\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_2 v_3 - u_3 v_2 \\ u_3 v_1 - u_1 v_3 \\ u_1 v_2 - u_2 v_1 \end{pmatrix}

Länge eines Pfeils im Raum (Betrag)

\lVert w \rVert = \sqrt{w_1^2 + w_2^2 + w_3^2}

Das Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt) gibt es nur im Raum $\mathbb{R}^3$ . Es macht aus zwei Pfeilen $u$ und $v$ einen neuen Pfeil mit drei Zahlen. Anders als das Skalarprodukt ist sein Ergebnis also keine Zahl, sondern ein Pfeil.

Jede der drei Zahlen entsteht nach dem gleichen Muster: Für die erste Zahl lassen wir die erste Zeile weg und rechnen „zweite mal dritte“ minus „dritte mal zweite“. Für die zweite und dritte Zahl rutscht das Muster eine Stelle weiter: Die Indizes laufen im Kreis $1 \to 2 \to 3 \to 1$ .

Aus Ü10 A6 („Kreuzprodukt im ℝ³: Parallelogrammfläche, Spatvolumen und Rechenregeln“): Die Regel unten haben Sie dort kennengelernt: Jede Komponente ist ein Produkt minus ein Produkt, und die Indizes laufen im Kreis 1 → 2 → 3 → 1. Das Ergebnis steht senkrecht auf beiden Pfeilen.

Der neue Pfeil steht senkrecht auf $u$ und auf $v$ . Das nutzen wir in Schritt 8 als Kontrolle. Wichtig: Die Reihenfolge zählt. Vertauscht man $u$ und $v$ , kehrt sich der Pfeil um; seine Länge bleibt gleich.

Die Fläche eines Dreiecks im Raum

Die Aufgabe

Die Idee: das halbe Parallelogramm

Das Kreuzprodukt als Rechenregel

Das Dreieck ABC im Raum

Abbildung 1Das Dreieck ABC im Raum

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Die Idee: das halbe Parallelogramm

Schritt 2Das Kreuzprodukt als Rechenregel

Das Dreieck ABC im Raum

Abbildung 1Das Dreieck ABC im Raum

Die Aufgabe

Die Idee: das halbe Parallelogramm

Das Kreuzprodukt als Rechenregel