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Statistik · Probeklausur 2 · Aufgabe 1

Dienstreisen: Standardfehler und Konfidenzintervall

Eine Studie befragt 20 Frauen aus dem Top-Management zu ihren Dienstreisen. Aus dieser kleinen Gruppe soll man auf alle Top-Managerinnen schließen. Dafür rechnet man aus, wie genau der Mittelwert der Gruppe ist (Standardfehler) und in welchem Bereich der wahre Mittelwert mit 90 % Sicherheit liegt (Konfidenzintervall). Das ist Aufgabe 1 der Probeklausur 2 (Übungsklausur 1 zu Teil 2 der Vorlesung), 12 von 90 Punkten. Gerechnet wird von Hand mit der t-Tabelle aus der Formelsammlung der Klausur. Der ganze Lösungsweg steht von Anfang an da. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Die Aufgabe

Aufgabe 1: (12 Punkte)

Eine Gruppe von 20 Frauen aus dem Top-Management nimmt an einer Studie zum Thema Dienstreisen teil. Die Befragung ergab, dass die befragten Frauen im Jahr durchschnittlich 15 Dienstreisen mit einer Standardabweichung von s = 3 hatten. D.h., dass hier die Standardabweichung σ unbekannt ist und aus der Stichprobe durch s geschätzt wurde.

a) Berechnen Sie den Standardfehler und den relativen Standardfehler. Interpretieren Sie die Werte anschließend. (5 Punkte)
b) Konstruieren und interpretieren Sie das 90%-Konfidenzintervall. (5 Punkte)
c) Erklären Sie kurz, was sich in der Beantwortung der Frage b) ändern würde, falls die Standardabweichung σ bekannt ist. Sie müssen hier nicht rechnen! (2 Punkte)

Gegeben
n=20,xˉ=15,s=3,σ unbekanntn = 20, \qquad \bar{x} = 15, \qquad s = 3, \qquad \sigma \text{ unbekannt}

Befragt wurden 20 Frauen aus dem Top-Management. Sie hatten im Jahr im Durchschnitt 15 Dienstreisen; die einzelnen Werte schwanken um diesen Durchschnitt mit der Standardabweichung s=3s = 3 (sie misst, wie stark die einzelnen Werte um den Mittelwert streuen). Gesucht ist nicht der Wert dieser 20 Frauen, sondern eine Aussage über alle Top-Managerinnen, die Grundgesamtheit. Aus der Stichprobe lässt sich nur schätzen, wie dieser wahre Mittelwert μ\mu (griechisch „my“) aussieht.

Zu den Teilaufgaben: a) Der Standardfehler sagt, wie weit der Mittelwert einer Stichprobe im Schnitt vom wahren Mittelwert entfernt liegt. Der relative Standardfehler setzt das ins Verhältnis zum Mittelwert. b) Das Konfidenzintervall ist ein Bereich um den Stichprobenmittelwert, in dem der wahre Mittelwert mit einer festgelegten Sicherheit (hier 90 %) liegt. c) Nur erklären: Was wäre anders, wenn man die Standardabweichung σ\sigma der Grundgesamtheit kennte?

Merke: Die Stichprobe liefert nur einen Schätzwert. Standardfehler und Konfidenzintervall sagen, wie sicher dieser Schätzwert ist.

Der Weg:

  1. Den Standardfehler aus ss und nn berechnen (Schritte 1 bis 4).
  2. Die passende Verteilung wählen, den Faktor aus der Tabelle lesen, die Grenzen berechnen (Schritte 5 bis 8).
  3. Erklären, was sich bei bekanntem σ\sigma ändert (Schritt 9).

Stichprobe und Grundgesamtheit

Was gegeben ist
n=20,xˉ=15,s=3n = 20, \qquad \bar{x} = 15, \qquad s = 3

Die Stichprobe sind die 20 befragten Frauen. Aus ihren Antworten berechnet man den Mittelwert xˉ=15\bar{x} = 15 Dienstreisen (sprich: „x quer“). Er ist ein Schätzwert für den wahren Mittelwert μ\mu aller Top-Managerinnen.

Mit einer anderen Stichprobe von 20 Frauen käme ein anderer Mittelwert heraus, etwa 14,2 oder 15,8. Der Schätzwert xˉ\bar{x} schwankt also vom Zufall abhängig um μ\mu. Wie stark, sagt der Standardfehler.

Die Aufgabe nennt außerdem s=3s = 3: die Standardabweichung der Stichprobe. Sie misst, wie stark die einzelnen Frauen um ihren Mittelwert streuen. Die Standardabweichung σ\sigma aller Top-Managerinnen ist unbekannt. Darum nimmt man ss als Schätzung für σ\sigma; das sagt die Aufgabe ausdrücklich.

Der Standardfehler

Formel (Formelsammlung, Seite 11)
σ^Xˉ=sn\hat{\sigma}_{\bar X} = \frac{s}{\sqrt{n}}
Zahlen eingesetzt: s = 3, n = 20, √20 ≈ 4,4721
σ^Xˉ=320=34,4721=0,6708\hat{\sigma}_{\bar X} = \frac{3}{\sqrt{20}} = \frac{3}{4{,}4721} = 0{,}6708

Der Standardfehler beträgt 0,67 Dienstreisen (gerundet auf zwei Stellen).

Der Standardfehler gibt an, um wie viel der Stichprobenmittelwert xˉ\bar{x} im Durchschnitt vom wahren Mittelwert μ\mu abweicht. Für unbekanntes σ\sigma steht in der Formelsammlung (Seite 11):

Merke: σ^Xˉ=sn\hat{\sigma}_{\bar X} = \dfrac{s}{\sqrt{n}}. Das Zeichen σ^Xˉ\hat{\sigma}_{\bar X} ist der Standardfehler des Mittelwerts; ss ist die Standardabweichung der Stichprobe, nn der Stichprobenumfang.

Warum durch n\sqrt{n} teilen? Je mehr Personen befragt werden, desto weniger beeinflusst eine einzelne Person mit ungewöhnlichem Wert den Mittelwert. Der Mittelwert wird genauer, der Fehler kleiner.

In der Grafik ist der Standardfehler der dicke Strich um den Mittelwert 15. Er reicht 0,67 nach links und rechts.

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Mittelwert, Standardfehler, Intervall

oben die Dienstreisen, unten die t-Verteilung

Abbildung 1Mittelwert, Standardfehler, Intervall

oben die Dienstreisen, unten die t-Verteilung

Dienstreisen pro Jahr12131415161718Mittelwert x̄ = 15± 0,674,47 % von 1590 %-Intervall: 13,84 bis 16,16σ bekannt: schmalert-Verteilung, 19 Freiheitsgrade−3−2−10123Werte von tt-Kurve90 %5 %t = 1,729z = 1,645
Legendemittlere 90 % der FlächeRänder, je 5 %Oben: die Zahl der Dienstreisen pro Jahr auf einer Achse. Unten: die t-Verteilung, die ab Schritt 5 gebraucht wird.