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Statistik · Probeklausur 2 · Aufgabe 3

Raumtemperatur und Diät: abhängige und unabhängige Stichproben

Fünf Patienten machen eine Diät. Gemessen wird ihr Gewichtsverlust bei niedriger und bei hoher Raumtemperatur während der Mahlzeiten. Gefragt ist, ob die Temperatur einen Einfluss hat. Das ist Aufgabe 3 der Probeklausur 2 (Übungsklausur 1 zu Teil 2 der Vorlesung), 25 von 90 Punkten. Gerechnet wird von Hand mit den Formeln und der t-Tabelle der Formelsammlung. Der ganze Lösungsweg steht von Anfang an da. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Die Aufgabe

Aufgabe 3 (25 Punkte)

Eine Untersuchung analysiert, ob bei der Einnahme von Mahlzeiten eine niedrigere oder höhere Raumtemperatur einen Einfluss darauf hat, dass Patienten bei einer Diät Gewicht verlieren. Folgende Tabelle veranschaulicht den Gewichtsverlust der 5 Patienten:

Patient Nr.Niedrige RaumtemperaturHohe Raumtemperatur
1−0,31,5
2−3,00,6
30,4−0,6
4−0,20,1
51,40,6
  1. Bestimmen Sie Standardfehler für eine unabhängige sowie eine abhängige Stichprobe und geben Sie an, was damit genau gemeint ist. (8 Punkte)
  2. Bestimmen Sie das 90%-Konfidenzintervall für eine unabhängige sowie eine abhängige Stichprobe und geben Sie an, was damit genau gemeint ist. (8 Punkte)
  3. Führen Sie anschließend für beide Szenarien einen zweiseitigen Signifikanztest auf einem 10%-Signifikanzniveau durch und interpretieren Sie die Ergebnisse. (9 Punkte)

Jeder der fünf Patienten hat zwei Werte: den Gewichtsverlust bei niedriger und den bei hoher Raumtemperatur. Ein negativer Wert heißt: Der Patient hat zugenommen. Es soll geprüft werden, ob die Raumtemperatur den Gewichtsverlust beeinflusst, also ob sich die Mittelwerte der beiden Spalten wirklich unterscheiden oder nur durch Zufall.

Die Aufgabe verlangt alles zweimal: für eine unabhängige und für eine abhängige Stichprobe.

  • Abhängige Stichprobe: Dieselben Personen stehen in beiden Spalten. Die zwei Werte eines Patienten gehören zusammen (gepaart).
  • Unabhängige Stichprobe: Die Personen der einen Spalte sind andere als die der anderen. Es gibt keine Paare.

Hier sind es dieselben fünf Patienten. Der Sache nach passt also die abhängige Rechnung. Die unabhängige Rechnung verlangt die Aufgabe zum Vergleich.

Die Aufgabe nennt in c) „zweiseitig“: Getestet wird, ob die Mittelwerte sich irgendwie unterscheiden, in eine der beiden Richtungen.

Der Weg:

  1. a) Mittelwerte und Varianzen berechnen, daraus den Standardfehler für den unabhängigen Fall. Dann die Differenzen je Patient, daraus den Standardfehler für den abhängigen Fall (Schritte 1 bis 7).
  2. b) Den t-Wert aus der Tabelle lesen und beide 90-%-Konfidenzintervalle bilden (Schritte 8 bis 11).
  3. c) Beide Tests in fünf Schritten: Hypothesen, α, Prüfgröße, Tabellenwert, Vergleich (Schritte 12 bis 15).
Merke: Bei einer abhängigen Stichprobe rechnet man mit den Differenzen je Person, bei einer unabhängigen mit den beiden Spalten getrennt.

Mittelwerte der beiden Spalten

Mittelwert
xˉ=1n∑i=1nxi\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i
Niedrige Raumtemperatur (A), Werte eingesetzt
xˉA=−0,3+(−3,0)+0,4+(−0,2)+1,45=−1,75=−0,34\bar{x}_A = \frac{-0{,}3 + (-3{,}0) + 0{,}4 + (-0{,}2) + 1{,}4}{5} = \frac{-1{,}7}{5} = -0{,}34
Hohe Raumtemperatur (B), Werte eingesetzt
xˉB=1,5+0,6+(−0,6)+0,1+0,65=2,25=0,44\bar{x}_B = \frac{1{,}5 + 0{,}6 + (-0{,}6) + 0{,}1 + 0{,}6}{5} = \frac{2{,}2}{5} = 0{,}44

Der Mittelwert xˉ\bar{x} ist die Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl nn. Hier ist n=5n = 5. Die Spalte „niedrige Raumtemperatur“ heißt ab jetzt AA, die Spalte „hohe Raumtemperatur“ BB.

Warum zuerst die Mittelwerte? Der Standardfehler misst, wie unsicher der Unterschied der Mittelwerte ist. Außerdem brauchen die Varianzen im nächsten Schritt die Mittelwerte.

Varianzen der beiden Spalten

Varianz der Stichprobe
s2=1n−1∑i=1n(xi−xˉ)2s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \bar{x}\right)^2

Niedrige Raumtemperatur (A), Mittelwert −0,34:

PatientxA,ix_{A,i}AbweichungQuadrat
1−0,30,040,0016
2−3,0−2,667,0756
30,40,740,5476
4−0,20,140,0196
51,41,743,0276
Summe10,6720

Hohe Raumtemperatur (B), Mittelwert 0,44:

PatientxB,ix_{B,i}AbweichungQuadrat
11,51,061,1236
20,60,160,0256
3−0,6−1,041,0816
40,1−0,340,1156
50,60,160,0256
Summe2,3720
Durch n − 1 = 4 teilen
sA2=10,6724=2,668sB2=2,3724=0,593s_A^2 = \frac{10{,}672}{4} = 2{,}668 \qquad s_B^2 = \frac{2{,}372}{4} = 0{,}593

Die Varianz s2s^2 misst, wie weit die Werte einer Spalte um ihren Mittelwert streuen. Man bildet für jeden Wert die Abweichung vom Mittelwert, quadriert sie (damit sich Plus und Minus nicht aufheben) und teilt die Summe durch n−1=4n - 1 = 4. Das Teilen durch n−1n - 1 statt nn steht so in der Formelsammlung: Bei einer Stichprobe ist das der bessere Schätzer.

Die Quadrate stehen in den Tabellen unten. Die Summen sind 10,672 und 2,372.

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Paare und Intervalle

oben die Werte der Patienten, unten die Konfidenzintervalle

Abbildung 1Paare und Intervalle

oben die Werte der Patienten, unten die Konfidenzintervalle

Patient 1Patient 2Patient 3Patient 4Patient 5x̄ niedrig = −0,34x̄ hoch = 0,44Mittelwert der Differenzen: −0,78−3−2−1012Gewichtsverlustunabhängig: [−2,28; 0,72]abhängig: [−2,62; 1,06]−3−2−1012
Legendehohle Punkte: niedrige, volle Punkte: hohe RaumtemperaturFarbe: im Schritt gemeintOben: die fünf Patienten mit ihren zwei Werten. Unten: die Konfidenzintervalle für den Unterschied der Mittelwerte; die gestrichelte senkrechte Linie bei 0 heißt „kein Unterschied“.