Familienstand und Schminkeverbrauch: Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest

Die Aufgabe

Aufgabe 4: (15 Punkte)

Eine Erhebung von Familienstand und Schminkeverbrauch (Gramm pro Woche) bei 200 zufällig ausgewählten Frauen hat folgendes Ergebnis geliefert.

Familienstand	0 bis unter 20 g	20 bis unter 30 g	30 bis unter 40 g	40 bis unter 50 g
verheiratet	65	20	10	5
ledig	15	10	30	5
geschieden	10	10	10	10

Prüfen Sie bei einem Signifikanzniveau 5 %, ob die Merkmale voneinander abhängig sind.

Gegeben ist eine Kreuztabelle: Sie zählt, wie viele Frauen in jede Kombination aus zwei Merkmalen fallen. Das eine Merkmal ist der Familienstand (verheiratet, ledig, geschieden), das andere der Schminkeverbrauch in Gramm pro Woche, in vier Gruppen. „0 bis unter 20“ heißt: ab 0 g, aber unter 20 g.

Gesucht ist eine Entscheidung: Sind die beiden Merkmale voneinander abhängig? Ja oder Nein, mit einer Begründung durch einen Test.

Der Test heißt Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest (Chi sprich „ki“). Er vergleicht, was man beobachtet hat, mit dem, was man bei Unabhängigkeit erwarten würde. Weicht die Beobachtung zu stark ab, spricht das gegen die Unabhängigkeit. Der Kurs führt jeden Test in fünf Schritten aus:

Hypothesen aufstellen (Schritt 1).
Signifikanzniveau festlegen (Schritt 2).
Prüfwert $\chi^2_{\text{emp}}$ berechnen: Summen, erwartete Häufigkeiten, Summanden, Summe (Schritte 3 bis 7).
Tabellenwert ablesen (Schritt 8).
Vergleichen und die Entscheidung in Worten sagen (Schritt 9).

Aus Probeklausur 1, Aufgabe 2 („Maschine und Qualität: Phi- und Kontingenzkoeffizient“): Dort wurde schon eine erwartete Häufigkeit berechnet und ein Chi-Quadrat-Wert aus der Summe der Abweichungen gebildet. Hier wird dieser Wert zusätzlich mit einer Tabelle verglichen, um eine Entscheidung zu treffen.

Merke: Chi-Quadrat misst, wie weit die Zählungen von dem abweichen, was bei Unabhängigkeit herauskäme. Ist der Wert größer als der Tabellenwert, ist die Abweichung zu groß für Zufall.

Hypothesen aufstellen

Nullhypothese (Beobachtung ist nur Zufall)

H_0:\ \text{Familienstand und Schminkeverbrauch sind unabhängig}

Alternativhypothese

H_1:\ \text{Familienstand und Schminkeverbrauch sind abhängig}

Ein Test beginnt mit zwei Aussagen. Die Nullhypothese $H_0$ sagt: „Da ist nichts.“ Die Alternativhypothese $H_1$ sagt das Gegenteil. Der Test prüft, ob die Daten so stark gegen $H_0$ sprechen, dass man sie nicht mehr halten kann.

Hier fragt die Aufgabe, ob die Merkmale „voneinander abhängig“ sind. Die Nullhypothese ist darum die Unabhängigkeit: Der Familienstand hat keinen Einfluss darauf, wie viel eine Frau schminkt. Unabhängig heißt: In jeder Zeile (jedem Familienstand) sind die Frauen gleich auf die vier Gruppen verteilt.

Die Alternativhypothese ist die Abhängigkeit: Der Schminkeverbrauch hängt vom Familienstand ab. Der Test kann nur sagen, ob ein Zusammenhang besteht, nicht welcher Art.

Warum diese Richtung? Genau eine Verteilung beschreibt „unabhängig“, daraus lässt sich rechnen, was man erwarten würde. Abhängig kann auf viele Arten sein.

Signifikanzniveau festlegen

Aus der Aufgabe, dann für die Tabelle umgerechnet

\alpha = 5\,\% = 0{,}05, \qquad 1 - \alpha = 1 - 0{,}05 = 0{,}95

Der Test kann sich irren: Er kann $H_0$ verwerfen, obwohl sie stimmt. Das Signifikanzniveau $\alpha$ (griechisch „alpha“) legt fest, wie oft man diesen Irrtum höchstens zulässt. Die Aufgabe nennt es: 5 %, also $\alpha = 0{,}05$ .

Für die Tabelle in Schritt 8 braucht man $1 - \alpha$ . Das ist die Wahrscheinlichkeit, bei zutreffender $H_0$ richtig zu liegen: 95 %. Der Wert 0,95 ist die Spalte, die man dort sucht.

Familienstand und Schminkeverbrauch: Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest

Die Aufgabe

Hypothesen aufstellen

Signifikanzniveau festlegen

Beobachtet und erwartet

Abbildung 1Beobachtet und erwartet

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Hypothesen aufstellen

Schritt 2Signifikanzniveau festlegen

Beobachtet und erwartet

Abbildung 1Beobachtet und erwartet

Die Aufgabe

Hypothesen aufstellen

Signifikanzniveau festlegen