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Statistik · Probeklausur 3 · Aufgabe 3

Siebenseitiger Würfel: ist er manipuliert?

Ein Würfel mit sieben Seiten für ein Strategiespiel: Ist er fair, oder fällt eine Zahl zu oft? 140 Würfe liegen vor. Ein Chi-Quadrat-Anpassungstest entscheidet, ob die Abweichungen noch Zufall sein können. Das ist Aufgabe 3 der Probeklausur 3. Der ganze Lösungsweg steht offen da, die Erklärung gehört jeweils zum aktuellen Schritt. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Die Aufgabe

Aufgabe 3: (13 Punkte)

Für ein Strategiespiel wird ein 7-seitiger Würfel benötigt. Nach 140 Würfen konnte man folgende Beobachtungen machen:

ZahlAnzahl
119
222
315
428
526
616
714

Führen Sie einen geeigneten Test zur Überprüfung der Gleichverteilung aller Zahlen des Würfels mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von α = 5% durch. Ist der Würfel manipuliert?

Bei einem fairen siebenseitigen Würfel ist jede Zahl von 1 bis 7 gleich wahrscheinlich. Man hat 140-mal gewürfelt und gezählt, wie oft jede Zahl fiel. Die Zahlen sind nie exakt gleich. Die Frage ist: Sind die Unterschiede noch Zufall, oder ist der Würfel manipuliert?

Gesucht: ein geeigneter Test auf Gleichverteilung mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5 % und eine Antwort in Worten (13 Punkte).

Der passende Test ist der Chi-Quadrat-Anpassungstest (χ² sprich „chi quadrat“). Er prüft, ob beobachtete Häufigkeiten zu einer vorgegebenen Verteilung passen, hier der Gleichverteilung. Wie jeder Test des Kurses läuft er in fünf Testschritten:

  1. Testschritt 1: Hypothesen aufstellen (Schritt 2 oben).
  2. Testschritt 2: Signifikanzniveau festlegen (Schritt 3 oben).
  3. Testschritt 3: Empirischen Chi-Quadrat-Wert aus den Daten berechnen (Schritte 4 bis 6 oben).
  4. Testschritt 4: Kritischen Wert aus der Tabelle ablesen (Schritt 7 oben).
  5. Testschritt 5: Vergleichen und entscheiden (Schritte 8 und 9 oben).
Merke: Chi-Quadrat misst die gesamte Abweichung zwischen beobachtet und erwartet. Ist sie größer als der kritische Wert, passt die Verteilung nicht.

Welcher Test, und warum

Frage der AufgabeTest
Passt ein Merkmal zu einer vorgegebenen Verteilung?Anpassungstest (hier)
Hängen zwei Merkmale zusammen?Unabhängigkeitstest

Die Daten sind Häufigkeiten in Kategorien (die sieben Zahlen). Gefragt ist, ob sie zu einer festen Verteilung passen. Dafür ist der Chi-Quadrat-Anpassungstest da.

Andere Tests passen nicht: Ein t-Test vergleicht Mittelwerte, hier gibt es keinen sinnvollen Mittelwert der Augenzahlen für diese Frage. Der Unabhängigkeitstest prüft den Zusammenhang zweier Merkmale, hier gibt es nur ein Merkmal.

Testschritt 1: Hypothesen aufstellen

Nullhypothese: Gleichverteilung, der Würfel ist nicht manipuliert
H0: p1=p2=⋯=p7=17H_0:\ p_1 = p_2 = \dots = p_7 = \frac{1}{7}
Gegenhypothese: keine Gleichverteilung, der Würfel ist manipuliert
H1: mindestens ein pi≠17H_1:\ \text{mindestens ein } p_i \neq \frac{1}{7}

pip_i ist die Wahrscheinlichkeit der Zahl ii.

Ein Test beginnt mit der Nullhypothese H0H_0: Das ist die Annahme „es ist nichts Besonderes“, die man widerlegen möchte. Hier: Der Würfel ist fair, jede Zahl hat die Wahrscheinlichkeit 17\tfrac{1}{7}.

Die Gegenhypothese H1H_1 sagt das Gegenteil: Mindestens eine Zahl hat eine andere Wahrscheinlichkeit, der Würfel ist manipuliert.

Noch 8 Schritte bis zum Ergebnis
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Beobachtet und erwartet

Häufigkeit jeder Zahl in 140 Würfen

Abbildung 1Den Test vorbereiten

Verfahren, Hypothesen, Niveau, erwartete Häufigkeiten

0102030Anzahl Würfe119222315428526616714gewürfelte Zahlerwartet: 20−10,05+20,20−51,25+83,20+61,80−40,80−61,80
Legendeviolett: beobachtete Häufigkeitrot gestrichelt: Abweichung von der erwarteten HäufigkeitBeobachtete Häufigkeiten der Zahlen 1 bis 7 in 140 Würfen.