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Statistik · Probeklausur 4 · Aufgabe 1

Hausaufgaben: Häufigkeiten, Median, Quartilsabstand

13 Schüler sagen, wie viele Stunden pro Woche sie Hausaufgaben machen. Aus dieser Liste entstehen zwei Tabellen, zwei Zeichnungen und vier Kennzahlen: Median, Standardabweichung, Spannweite und Quartilsabstand. Das ist Aufgabe 1 der Probeklausur 4 (Gesamtklausur zu Teil 1 und 2 der Vorlesung), mit 22 von 120 Punkten. Alles wird von Hand gerechnet, wie in der Klausur. Der ganze Lösungsweg steht offen da, die Erklärung gehört jeweils zum aktuellen Schritt. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Die Aufgabe

Aufgabe 1: (22 Punkte)

13 Schüler wurden gefragt, wie viele Stunden sie pro Woche Hausaufgaben machen. Die Antworten lauteten: 6, 3, 2, 2, 1, 7, 2, 4, 3, 5, 2, 5, 7.

  1. Bestimmen Sie die absolute und relative Häufigkeitsverteilung. (5 Punkte)
  2. Bestimmen Sie die relative Summenhäufigkeitsverteilung. (3 Punkte)
  3. Stellen Sie die relative Häufigkeitsverteilung grafisch dar. (2 Punkte)
  4. Stellen Sie die empirische Verteilungsfunktion grafisch dar. (2 Punkte)
  5. Bestimmen Sie den Median. (2 Punkte)
  6. Bestimmen Sie die Standardabweichung. (4 Punkte)
  7. Bestimmen Sie die Spannweite und den Interquartilsabstand. (4 Punkte)

Die Antworten mit ihrem Platz in der Liste:

Platz1234567
Stunden6322172
Platz8910111213
Stunden435257

Gesamtklausur, Teil 1 und Teil 2 der Vorlesung. Zeit: 120 Minuten, Gesamtpunktzahl: 120. Hilfsmittel: Formelsammlung, nicht programmierbarer Taschenrechner.

Die Probeklausur 4 ist die Gesamtklausur über Teil 1 und Teil 2. Sie dauert 120 Minuten und bringt 120 Punkte, also etwa eine Minute je Punkt. Erlaubt sind die Formelsammlung der Klausur und ein Taschenrechner, der sich nicht programmieren lässt. Aufgabe 1 bringt 22 Punkte, gut 20 Minuten.

In eigenen Worten: Jeder der 13 Schüler hat eine Zahl genannt: seine Stunden Hausaufgaben pro Woche. Die Liste ist ungeordnet und schwer zu lesen. Die Aufgabe verlangt sieben Dinge:

Teilwas verlangt istPunkte
a)wie oft jede Stundenzahl vorkommt, als Anzahl und als Anteil5
b)die Anteile von unten aufaddiert3
c)die Anteile aus a) als Zeichnung2
d)die aufaddierten Anteile aus b) als Zeichnung (Treppe)2
e)der Wert in der Mitte der sortierten Liste2
f)wie weit die Stunden im Mittel vom Durchschnitt abweichen4
g)Abstand größter bis kleinster Wert und Breite der mittleren Hälfte4

Jeder Begriff wird in dem Schritt erklärt, in dem er gebraucht wird. „Bestimmen“ heißt in der Klausur: den Rechenweg hinschreiben und das Ergebnis mit Einheit angeben, hier „Stunden“.

Ein Hinweis zu f): Die Formelsammlung der Klausur teilt bei der Varianz durch die Zahl der Werte nn. Danach richtet sich dieser Lösungsweg. Manche Taschenrechner teilen durch n−1n - 1; das ergäbe eine andere Zahl (Schritt 12).

Der Weg:

  1. Die Liste sortieren und zählen (a, Schritte 1 bis 3).
  2. Die Anzahlen aufaddieren (b, Schritte 4 und 5).
  3. Beide Tabellen zeichnen (c und d, Schritte 6 bis 9).
  4. Den Median aus der sortierten Liste ablesen (e, Schritt 10).
  5. Mittelwert, Varianz, Standardabweichung (f, Schritte 11 bis 13).
  6. Spannweite, Quartile und Quartilsabstand (g, Schritte 14 bis 16).
Merke: Alles baut auf einer einzigen Zählung auf. Wer in a) richtig zählt und die Probe macht, hat für b) bis g) die richtigen Zahlen.

Merkmal bestimmen und die Liste sortieren

a) · 5 Punkte. Verlangt ist eine Tabelle: alle sieben Stundenzahlen mit Anzahl und Anteil. Die Schritte 1 bis 3 bauen sie auf.

Begriffin dieser Aufgabe
Merkmalsträgerein Schüler
MerkmalStunden Hausaufgaben pro Woche
Ausprägungen1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Stunden
Artquantitativ, sieben verschiedene Werte
Zahl der Werte nn13

Aufsteigend sortiert, mit Platz 1 bis 13:

Platz1234567
Wert1222233
Platz8910111213
Wert455677

Zuerst muss klar sein, was untersucht wird. Die Statistik hat dafür feste Wörter:

  • Der Merkmalsträger ist das, woran man etwas beobachtet: ein Schüler.
  • Das Merkmal ist die Eigenschaft, die interessiert: Stunden Hausaufgaben pro Woche.
  • Eine Ausprägung ist ein Wert, den das Merkmal annimmt. Hier kommen die Werte 1, 2, 3, 4, 5, 6 und 7 vor.

Die Liste in der Reihenfolge der Aufgabe heißt Urliste. Die Zahl ihrer Werte bekommt das Zeichen nn. Hier ist n=13n = 13.

Stunden sind echte Zahlen: 6 Stunden sind doppelt so viel wie 3. Das Merkmal ist also quantitativ (zahlenmäßig), und man darf mit den Werten rechnen. Das braucht man später für Mittelwert und Standardabweichung.

Es gibt nur sieben verschiedene Werte. Darum zählt man jeden Wert einzeln und fasst nichts zu Gruppen zusammen. Zum Zählen sortiert man die Urliste zuerst: Dann stehen gleiche Werte nebeneinander. Die sortierte Liste braucht man in e) und g) noch einmal.

Probe: Die sortierte Liste hat wieder 13 Werte. Am sichersten streicht man in der Urliste jeden Wert ab, sobald man ihn übernommen hat.

Absolute Häufigkeiten: zählen

Stunden xix_iPlätze in der sortierten Listeabsolute Häufigkeit nin_i
111
22 bis 54
36 und 72
481
59 und 102
6111
712 und 132
Summe13
Probe: Die Anzahlen ergeben zusammen n
∑i=17ni=1+4+2+1+2+1+2=13=n✓\sum_{i=1}^{7} n_i = 1 + 4 + 2 + 1 + 2 + 1 + 2 = 13 = n \quad \checkmark

Die absolute Häufigkeit nin_i eines Werts ist die Anzahl der Schüler, die genau diesen Wert genannt haben. Der kleine Index ii nummeriert die verschiedenen Werte: x1=1x_1 = 1 Stunde, x2=2x_2 = 2 Stunden und so weiter bis x7=7x_7 = 7 Stunden. Hier ist der Index gleich der Stundenzahl; das ist Zufall und nicht immer so.

In der sortierten Liste zählt man ab, wie viele Plätze jeder Wert belegt. Die 2 steht auf den Plätzen 2 bis 5, also viermal: n2=4n_2 = 4.

Probe: Jeder Schüler hat genau einen Wert genannt. Also müssen die Anzahlen zusammen wieder 13 ergeben. Das Zeichen ∑\sum (Summenzeichen) heißt: alle Werte dahinter addieren, hier für ii von 1 bis 7.

Kommt nicht 13 heraus, ist ein Wert vergessen oder doppelt gezählt. Alle weiteren Teile bauen auf diesen Anzahlen auf.

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Anteile je Stundenzahl

relative Häufigkeiten, Teil a)

Abbildung 1Anteile je Stundenzahl

relative Häufigkeiten, Teil a)

1,805,7400,10,20,3relative Häufigkeit fᵢ012345678Stunden pro Woche x14212121/134/132/131/132/131/132/13Mittelwert 3,77
Legendegerade gemeinter Stabgetönt (ab Schritt 13): Mittelwert ± StandardabweichungDie Achsen der Zeichnung: waagerecht die Stunden pro Woche, senkrecht der Anteil der Schüler. Die Stäbe kommen in Schritt 2 hinzu, wenn gezählt ist; welche Art Diagramm das ist, klärt Schritt 6.