studyklar
Statistik · Probeklausur 4 · Aufgabe 3

Normalverteilung: Grenze A bestimmen

Eine Größe XX ist normalverteilt mit Mitte 100 und Standardabweichung 9. Gesucht ist die Grenze AA, unter der 87,7 % aller Werte liegen. Die Wahrscheinlichkeit ist also gegeben, die Grenze gesucht. Dafür liest man die Tabelle der Standardnormalverteilung rückwärts. Das ist Aufgabe 3 der Probeklausur 4 (Gesamtklausur zu Teil 1 und 2 der Vorlesung), mit 6 von 120 Punkten. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Die Aufgabe

Aufgabe 3: (6 Punkte)

Die Zufallsvariable XX sei N(100; 92)N(100;\,9^2)-verteilt.

Bestimmen Sie AA, so dass gilt: P(X<A)=0,877P(X < A) = 0{,}877

In eigenen Worten: Die Werte von XX liegen um 100, und zwar mit der Standardabweichung 9. Gesucht ist die Zahl, unter der 87,7 % aller Werte liegen. Gerechnet wird von Hand mit der Tabelle der Formelsammlung.

XX ist eine Zufallsvariable: eine Größe, deren Wert vom Zufall abhängt. Ihre Werte sind normalverteilt, die Verteilung hat die Mitte 100 und die Streuung 9.

Gesucht: die Zahl AA, unter der XX mit Wahrscheinlichkeit 0,877 liegt.

Der Weg:

  1. Die Verteilung lesen: Mitte und Standardabweichung (Schritt 1).
  2. Die Bedingung in eine Gleichung für den z-Wert übersetzen (Schritte 2 und 3).
  3. Die Tabelle rückwärts lesen: z-Wert zur Fläche 0,877 (Schritt 4).
  4. Vom z-Wert auf AA zurückrechnen und die Probe machen (Schritte 5 und 6).
Merke: Die Tabelle liefert immer die Fläche links von einer Grenze. Hier ist genau das gegeben, darum geht es ohne Umformung der Bedingung.

N(100; 9²) lesen

Aus N(100; 9²) abgelesen
μ=100,σ2=92=81,σ=9\mu = 100, \qquad \sigma^2 = 9^2 = 81, \qquad \sigma = 9

XX ist stetig: Es kann jede Zahl annehmen. Die Schreibweise X∼N(μ; σ2)X \sim N(\mu;\,\sigma^2) nennt zwei Zahlen:

  • μ\mu („mü“) ist der Erwartungswert, die Mitte der Glocke: μ=100\mu = 100.
  • σ2\sigma^2 ist die Varianz: 92=819^2 = 81. Ihre Wurzel σ=9\sigma = 9 ist die Standardabweichung, die Breite der Glocke.
Aus Blatt 3, Aufgabe 5 („Normalverteilung: Grenzen A und B bestimmen“): An zweiter Stelle in N(⋅;⋅)N(\cdot;\cdot) steht die Varianz, nicht die Standardabweichung. Gerechnet wird mit σ=9\sigma = 9.

Die Bedingung als Fläche links von A

Gegeben: die Fläche links von A
P(X<A)=P(X≤A)=0,877P(X < A) = P(X \le A) = 0{,}877

Bei einer stetigen Größe ist die Wahrscheinlichkeit, genau einen Wert zu treffen, null. Darum ist P(X<A)=P(X≤A)P(X < A) = P(X \le A).

Die Wahrscheinlichkeit ist die Fläche unter der Glockenkurve links von AA. Sie ist 0,877 groß, das sind 87,7 % der Gesamtfläche 1.

Die Tabelle der Formelsammlung nennt genau diese Fläche links von einer Grenze. Deshalb muss nichts umgeformt werden.

Noch 4 Schritte bis zum Ergebnis
Den ganzen Lösungsweg sehen Studierende und Lehrende der HS KL. Registriere dich mit deiner Adresse @stud.hs-kl.de oder @hs-kl.de, dann geht es hier direkt weiter.
Registrieren

Die Glockenkurve von N(100; 92)N(100;\,9^2)

Fläche unter der Kurve = Wahrscheinlichkeit; unter jeder x-Zahl ihr z-Wert

Abbildung 1Die Glockenkurve von N(100; 92)N(100;\,9^2)

Fläche unter der Kurve = Wahrscheinlichkeit; unter jeder x-Zahl ihr z-Wert

73−382−291−11000109111821273xzσ = 90,877A = ?z = ?z = 1,16A = 110,44
Legendegetönt: die Fläche links von ADie Glockenkurve von X ~ N(100; 9²). Die getönte Fläche ist eine Skizze; wo A genau liegt, rechnen die Schritte aus.