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Statistik · Probeklausur 4 · Aufgabe 4

Tennisbälle: Konfidenzintervall mit σ bekannt und unbekannt

20 Tennisspieler haben genannt, wie viele Bälle sie pro Woche für das Training brauchen. Der Mittelwert dieser Stichprobe ist 16. Gefragt ist, wie genau dieser Wert den Mittelwert aller Tennisspieler trifft. Das beantworten der Standardfehler und das Konfidenzintervall, einmal mit bekannter und einmal mit geschätzter Streuung. Das ist Aufgabe 4 der Probeklausur 4 (Gesamtklausur zu Teil 1 und 2 der Vorlesung), mit 14 von 120 Punkten. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Die Aufgabe

Aufgabe 4 (14 Punkte)

20 Tennisspieler wurden befragt, wie viele Tennisbälle sie für das Training pro Woche benötigen. Die Befragung ergab, dass der Mittelwert xˉ=16\bar{x} = 16 Tennisbälle war. Die Annahme der Normalverteilung sei gerechtfertigt und die Standardabweichung σ=2\sigma = 2 sei bekannt.

  1. Berechnen Sie den Standardfehler und den relativen Standardfehler. Interpretieren Sie die Werte anschließend. (4 Punkte)
  2. Konstruieren und interpretieren Sie das 95%-Konfidenzintervall. (5 Punkte)
  3. Berechnen Sie das 95%-Konfidenzintervall für den Fall, dass σ\sigma unbekannt ist und durch s=2s = 2 geschätzt wurde. Alle übrigen Annahmen der Aufgabe sind unverändert. (3 Punkte)
  4. Vergleichen Sie Aufgabe b) und c) und erklären die Unterschiede. (2 Punkte)

In eigenen Worten: Man hat nur 20 von sehr vielen Tennisspielern befragt. Der Mittelwert 16 gilt darum nur für diese 20 und ist nur ein Schätzwert für alle Spieler. Die Aufgabe verlangt vier Dinge:

  • a) wie stark dieser Schätzwert im Durchschnitt danebenliegt (Standardfehler),
  • b) einen Bereich, in dem der wahre Mittelwert mit 95 % Sicherheit liegt,
  • c) denselben Bereich, wenn die Streuung nur geschätzt ist,
  • d) einen Vergleich beider Bereiche.

Der Weg:

  1. Standardfehler und relativen Standardfehler berechnen (a, Schritte 1 und 2).
  2. Das Intervall mit dem z-Wert aufstellen und deuten (b, Schritte 3 und 4).
  3. Das Intervall mit dem t-Wert aufstellen (c, Schritte 5 und 6).
  4. Beide vergleichen (d, Schritt 7).
Merke: Ein Konfidenzintervall ist der Mittelwert plus und minus ein Vielfaches des Standardfehlers. Das Vielfache kommt aus einer Tabelle und hängt von der gewünschten Sicherheit ab.

Standardfehler

Standardfehler bei bekanntem σ (Formelsammlung)
σ^Xˉ=σn=220=24,4721=0,4472\hat{\sigma}_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{2}{\sqrt{20}} = \frac{2}{4{,}4721} = 0{,}4472

Eine zweite Stichprobe von 20 Spielern hätte einen anderen Mittelwert ergeben. Die Standardfehler genannte Zahl sagt, wie stark der Mittelwert einer Stichprobe im Durchschnitt vom wahren Mittelwert aller Spieler abweicht. Sein Zeichen ist σ^Xˉ\hat{\sigma}_{\bar{X}}: das Dach heißt „geschätzt“, der Index Xˉ\bar{X} „des Stichprobenmittelwerts“.

Er wird kleiner, wenn mehr Spieler befragt werden: Die Streuung σ\sigma der einzelnen Spieler wird durch die Wurzel aus der Zahl der Befragten nn geteilt. Hier sind σ=2\sigma = 2 und n=20n = 20.

Aus Probeklausur 2, Aufgabe 1 („Dienstreisen: Standardfehler und Konfidenzintervall“): Die Standardabweichung σ\sigma sagt, wie weit einzelne Werte um den Mittelwert streuen. Der Standardfehler sagt, wie weit der Stichprobenmittelwert um den wahren Mittelwert streut.

Relativer Standardfehler und Deutung

Relativer Standardfehler (Formelsammlung)
RSE=σ^Xˉxˉ=0,447216=0,0280=2,80 %\text{RSE} = \frac{\hat{\sigma}_{\bar{X}}}{\bar{x}} = \frac{0{,}4472}{16} = 0{,}0280 = 2{,}80\,\%

Ob 0,45 Bälle viel oder wenig sind, hängt vom Mittelwert ab. Darum teilt man durch ihn: relativer Standardfehler (kurz RSE) = Standardfehler durch Mittelwert.

Deutung: Der Stichprobenmittelwert 16 weicht im Durchschnitt um 0,45 Bälle vom wahren Mittelwert ab. Das sind 2,80 % des Mittelwerts. Der Fehler ist klein.

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Mittelwert und Konfidenzintervalle

Bälle pro Woche auf der Zahlengeraden

Abbildung 1Mittelwert und Konfidenzintervalle

Bälle pro Woche auf der Zahlengeraden

1515,51616,517Bälle pro Wochex̄ = 16SE = 0,4515,1216,8815,0616,94
LegendeMittelwert, Standardfehler und Intervalle (obere Linie: σ bekannt, untere: σ geschätzt)Zahlengerade der Tennisbälle pro Woche. Die Schritte tragen den Mittelwert und die Intervalle ein.