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Statistik · Probeklausur 4 · Aufgabe 9

Intelligenz: Gauß-Test und p-Wert

Die Eltern einer Schulklasse halten ihre Kinder für überdurchschnittlich intelligent. Die 50 Kinder erreichen im Test im Mittel 102 Punkte, in der Bevölkerung sind es 100. Ob das mehr als Zufall ist, klärt ein Hypothesentest in den 5 Schritten des Kurses. Danach geht es um den p-Wert. Das ist Aufgabe 9 der Probeklausur 4 (Gesamtklausur zu Teil 1 und 2 der Vorlesung), mit 11 von 120 Punkten. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Die Aufgabe

Aufgabe 9 (11 Punkte)

Eltern einer Schulklasse mit 50 Schülern halten ihre Kinder für hoch intelligent. Sie werden als Psychologe gebeten, diese Vermutung zu überprüfen. Dafür wählen Sie einen normierten Intelligenztest. Der Test ist so konstruiert, dass er Intelligenz auf Intervallskalenniveau misst und in der Population einen Mittelwert von 100 Test-Punkten aufweist (höhere Werte bedeuten eine höhere Intelligenz). Sie formulieren folgende Nullhypothese:

H0:μ≤100H_0: \mu \le 100

Der Mittelwert folgt einer Normalverteilung bei bekannter Standardabweichung σ=7\sigma = 7. Das Signifikanzlevel beträgt α=5 %\alpha = 5\,\%. Ihre Untersuchung in der Schulklasse hat den Mittelwert 102 ergeben.

  1. Führen Sie den Hypothesentest durch. (7 Punkte)
  2. Bestimmen Sie den p-Wert und erklären diesen, indem Sie Bezug zu Aufgabenteil a) nehmen. (4 Punkte)

In eigenen Worten: 102 liegt über 100. Aber eine Klasse hat immer etwas Zufall: Auch bei durchschnittlichen Kindern läge ihr Mittelwert mal darüber, mal darunter. Der Test fragt: Ist der Abstand von 2 Punkten zu groß, um nur Zufall zu sein?

Aus Blatt 1, Aufgabe 1 („Skalenniveaus: nominal, ordinal, metrisch“): Intervallskalenniveau heißt: Die Abstände zwischen den Werten sind gleich groß und bedeutsam (20 auf 30 Punkte ist so viel wie 80 auf 90). Darum darf man Mittelwerte bilden.

Der Weg:

  1. Hypothesen aufstellen (a, Seitenschritt 1).
  2. Das Signifikanzniveau festlegen (Seitenschritt 2).
  3. Den Annahmebereich bestimmen (Seitenschritt 3).
  4. Die Prüfgröße aus den Daten berechnen (Seitenschritt 4).
  5. Entscheiden und deuten (Seitenschritt 5).
  6. Den p-Wert berechnen und erklären (b, Seitenschritte 6 und 7).
Merke: Man nimmt an, die Nullhypothese stimmt, und prüft, ob die Daten dazu passen. Passen sie nicht, lehnt man die Nullhypothese ab.

Testschritt 1: Hypothesen aufstellen

Hypothesen
H0:μ≤100gegenH1:μ>100H_0: \mu \le 100 \qquad \text{gegen} \qquad H_1: \mu > 100

Die Nullhypothese H0H_0 ist die Gegenannahme, die man widerlegen will: Die Kinder sind nicht klüger als der Durchschnitt, μ≤100\mu \le 100. Dabei ist μ\mu der wahre Mittelwert aller Kinder, die so wären wie diese Klasse.

Die Alternativhypothese H1H_1 ist, was die Eltern vermuten: Der Mittelwert liegt über 100, μ>100\mu > 100.

Weil nur eine Richtung interessiert („mehr“), ist es ein einseitiger Test.

Der Wert 100 heißt μ0\mu_0 und ist der Rand von H0H_0: Zu H0H_0 gehören alle μ≤100\mu \le 100. Getestet wird am Rand μ=100\mu = 100. Dort ist die Hürde für die Eltern am niedrigsten: Wird H0H_0 schon bei 100 abgelehnt, dann erst recht bei jedem kleineren μ\mu, denn der Abstand 102 − μ wäre noch größer.

Testschritt 2: Signifikanzniveau festlegen

Aus der Aufgabe
α=5 %=0,05\alpha = 5\,\% = 0{,}05

Das Signifikanzniveau α\alpha ist die Irrtumswahrscheinlichkeit: Mit höchstens 5 % lehnt man H0H_0 ab, obwohl sie stimmt (Fehler 1. Art). Es steht in der Aufgabe.

Beim einseitigen Test liegen diese 5 % ganz auf einer Seite, hier rechts, wie der rote Bereich in der Grafik.

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Die Prüfgröße z

Glockenkurve, wenn H0 gilt

Abbildung 1Die Prüfgröße z

Glockenkurve, wenn H0 gilt

z = 0, μ = 100−3−2−10123Prüfgröße zGrenze 1,645α = 5 %z = 2,02p = 0,0217
Legenderot: Ablehnungsbereich (5 % der Fläche)getönt (ab Seitenschritt 6): p-WertStandardnormalverteilung der Prüfgröße z. Die Schritte tragen Ablehnungsbereich, Prüfgröße und p-Wert ein.