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Statistik · Übungsblatt 4 · Aufgabe 2

Ausstoß und Herstellkosten: bedingte Mittelwerte

Ein Betrieb hat 50 Wochen lang notiert, wie viel er hergestellt hat und was das gekostet hat. Beide Angaben sind in Klassen eingeteilt und in einer Tabelle gezählt. Erst werden die Lücken der Tabelle gefüllt, dann Anteile abgelesen, dann Mittelwerte und Streuung berechnet. Zum Schluss zeigen die bedingten Mittelwerte, ob die Kosten mit dem Ausstoß steigen. Der ganze Lösungsweg steht offen da, die Erklärung gehört jeweils zum aktuellen Schritt. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Die Aufgabe

Aufgabe 2

Aus den Aufzeichnungen eines Betriebes über die wöchentlichen Ausstoßmengen und die zugehörigen Herstellkosten ergibt sich folgende Kontingenztabelle:

Ausstoß (xix_i) \ Kosten (yjy_j)15 b. u. 2020 b. u. 2525 b. u. 3030 b. u. 3535 b. u. 40ni⋅n_{i\cdot}yˉ(xi)\bar{y}(x_i)
40 b. u. 50230005
50 b. u. 60340010
60 b. u. 70241010
70 b. u. 80082120
80 b. u. 9001215
n⋅jn_{\cdot j}16550
xˉ(yj)\bar{x}(y_j)
  1. Ergänzen Sie die fehlenden Häufigkeiten.
  2. Berechnen und interpretieren Sie: f(x4/y2)f(x_4/y_2), 1−f1⋅1 - f_{1\cdot}, f(x3/y2)f(x_3/y_2), f3,2f_{3,2}, f⋅4f_{\cdot 4}, n2⋅n_{2\cdot}, f(y2/x1)f(y_2/x_1).
  3. Sind die Merkmale statistisch abhängig oder unabhängig? Begründen Sie.
  4. Berechnen Sie für beide Merkmale das arithmetische Mittel, die Varianz und die Standardabweichung.
  5. Berechnen und interpretieren Sie die bedingten Mittelwerte (Lösungen in die Tabelle eintragen).

In eigenen Worten: Für jede der 50 Wochen kennt man zwei Dinge: die Ausstoßmenge xx (wie viel hergestellt wurde) und die Herstellkosten yy. Beide sind nur in Klassen bekannt, etwa „40 bis unter 50“. Die Tabelle zählt, in wie vielen Wochen jede Kombination vorkam. „b. u.“ heißt „bis unter“. Einheiten nennt das Blatt nicht; darum stehen hier nur Zahlen.

  • a) die leeren Felder der Tabelle füllen;
  • b) sieben Anteile und Anzahlen ausrechnen und in Worten sagen, was sie bedeuten;
  • c) entscheiden, ob Ausstoß und Kosten zusammenhängen;
  • d) Mittelwert, Varianz und Standardabweichung für beide Merkmale;
  • e) die Mittelwerte je Zeile und je Spalte (bedingte Mittelwerte), eingetragen in die Tabelle.

Der Weg:

  1. a) Tabelle lesen, Lücken über Zeilen- und Spaltensummen füllen (Schritte 1 bis 3).
  2. b) Relative und bedingte Häufigkeiten (Schritte 4 bis 7).
  3. c) Mit der Bedingung für Unabhängigkeit vergleichen (Schritt 8).
  4. d) Klassenmitten, dann Mittelwert und Varianz je Merkmal (Schritte 9 bis 13).
  5. e) Mittelwerte je Zeile und je Spalte, dann deuten (Schritte 14 bis 16).
Merke: Die Zahlen am Rand der Tabelle tragen die ganze Aufgabe. Mit den Zeilensummen füllt man Lücken, durch sie teilt man bei bedingten Anteilen, und mit ihnen gewichtet man bei Mittelwert und Varianz.

Die Tabelle lesen: Felder und Randsummen

Zeilensumme und Spaltensumme
ni⋅=ni1+ni2+ni3+ni4+ni5n_{i\cdot} = n_{i1} + n_{i2} + n_{i3} + n_{i4} + n_{i5}
n⋅j=n1j+n2j+n3j+n4j+n5jn_{\cdot j} = n_{1j} + n_{2j} + n_{3j} + n_{4j} + n_{5j}
Die Zeilensummen sind alle gegeben: Probe
5+10+10+20+5=50=n5 + 10 + 10 + 20 + 5 = 50 = n

Ein Merkmal ist eine Eigenschaft, die man an jeder Woche feststellt. Hier gibt es zwei: xx = Ausstoßmenge und yy = Herstellkosten. Eine Tabelle, die zählt, wie oft jede Kombination zweier Merkmale vorkommt, heißt Kontingenztabelle.

Aus Blatt 2, Aufgabe 3 („Wohnsituation von 250 Studierenden: Quartile, Mittelwert, Standardabweichung“): Dort zählte eine Kontingenztabelle Studierende nach Bewohnern und Wohnräumen. Die Summe einer Zeile oder Spalte gibt die Verteilung von nur einem Merkmal an, die Randverteilung.

Die Zeichen der Vorlesung, alle am Beispiel dieser Tabelle:

  • ii zählt die Zeilen (Klassen von xx, 1 bis 5), jj die Spalten (Klassen von yy, 1 bis 5). x4x_4 ist also die Klasse 70 b. u. 80, y2y_2 die Klasse 20 b. u. 25.
  • nijn_{ij}: absolute Häufigkeit im Feld Zeile ii, Spalte jj. Beispiel: n42=8n_{42} = 8 Wochen hatten Ausstoß 70 b. u. 80 und Kosten 20 b. u. 25.
  • ni⋅n_{i\cdot}: Summe der Zeile ii. Der Punkt steht für „über alle Spalten summiert“. n⋅jn_{\cdot j}: Summe der Spalte jj. Beide zusammen heißen Randsummen.
  • n=50n = 50: alle Wochen zusammen, unten rechts.

Jede Zeile muss ihre Zeilensumme ergeben, jede Spalte ihre Spaltensumme. Mit diesen Regeln lassen sich die Lücken füllen.

Die Lücken der Spalte 25 b. u. 30

Lücke = Zeilensumme − bekannte Felder der Zeile
n23=10−(3+4+0+0)=10−7=3n_{23} = 10 - (3 + 4 + 0 + 0) = 10 - 7 = 3
n33=10−(2+4+1+0)=10−7=3n_{33} = 10 - (2 + 4 + 1 + 0) = 10 - 7 = 3
n43=20−(0+8+2+1)=20−11=9n_{43} = 20 - (0 + 8 + 2 + 1) = 20 - 11 = 9
n53=5−(0+1+2+1)=5−4=1n_{53} = 5 - (0 + 1 + 2 + 1) = 5 - 4 = 1
Probe mit der gegebenen Spaltensumme 16
n⋅3=0+3+3+9+1=16 ✓n_{\cdot 3} = 0 + 3 + 3 + 9 + 1 = 16 \ \checkmark

In den Zeilen 2 bis 5 fehlt je genau ein Feld, immer in Spalte 3. Die Zeilensumme ist bekannt. Also bleibt für die Lücke: Zeilensumme minus die bekannten Felder der Zeile.

Beispiel Zeile 2 (Ausstoß 50 b. u. 60): 10 Wochen insgesamt, davon sind 3 + 4 + 0 + 0 = 7 schon verteilt. Es bleiben 3 Wochen für Kosten 25 b. u. 30.

Probe: Die Spaltensumme von Spalte 3 ist mit 16 gegeben. Die gefüllte Spalte muss genau 16 ergeben, und das tut sie.

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Die Kontingenztabelle

Anzahl der Wochen je Kombination

Abbildung 1Die Kontingenztabelle

Anzahl der Wochen je Kombination

Ausstoß ↓ · Kosten →
15 b. u. 20
20 b. u. 25
25 b. u. 30
30 b. u. 35
35 b. u. 40
Summe
Mittel Kosten
40 b. u. 50
2
3
0
0
0
5
50 b. u. 60
3
4
?
0
0
10
60 b. u. 70
2
4
?
1
0
10
70 b. u. 80
0
8
?
2
1
20
80 b. u. 90
0
1
?
2
1
5
Summe
?
?
16
5
?
50
Mittel Ausstoß
Legendegerade gemeintDie Tabelle der Aufgabe: Zeilen sind die Klassen des Ausstoßes, Spalten die Klassen der Herstellkosten. Jede Zahl zählt Wochen. Die Fragezeichen sind die Lücken, die Teil a) füllt.