Geschlecht und Kaufhäufigkeit: bedingte Verteilungen

Die Aufgabe

Aufgabe 4

Ein Unternehmen möchte wissen, ob es ein Zusammenhang zwischen Geschlecht und Kaufhäufigkeit besteht. Hierfür hat es 16 Kunden befragt. Der erste Befragte hat beispielsweise zweimal gekauft und war männlich. Alle 16 verbundenen Beobachtungswerte sind in folgender Tabelle dargestellt.

$i$	$x_i$ (Kaufhäufigkeit)	$y_i$ (Geschlecht)
1	2	männlich
2	3	männlich
3	2	weiblich
4	3	weiblich
5	1	weiblich
6	2	männlich
7	3	weiblich
8	2	männlich
9	2	männlich
10	1	weiblich
11	3	weiblich
12	2	weiblich
13	1	männlich
14	3	männlich
15	3	weiblich
16	1	weiblich

Erstellen Sie die Kontingenztabelle mit absoluten Häufigkeiten.
Erstellen Sie die Kontingenztabelle mit relativen Häufigkeiten und geben auch die Randverteilungen an.
Erstellen Sie die bedingte Häufigkeitsverteilung von Y.
Erstellen Sie die bedingte Häufigkeitsverteilung von X.
Sind die Merkmale statistisch abhängig oder unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort.

In eigenen Worten: Von jedem der 16 Kunden kennt man zwei Angaben: die Zahl seiner Käufe (1, 2 oder 3) und sein Geschlecht. Die Liste soll in Tabellen gebracht werden. Dann wird verglichen: Kaufen Männer anders oft als Frauen?

a) zählen, wie oft jede Kombination vorkommt (absolute Häufigkeiten);
b) dieselbe Tabelle in Anteilen an allen 16 Kunden, mit den Summen am Rand;
c) innerhalb jeder Kaufhäufigkeit: Anteil Männer und Frauen;
d) innerhalb jedes Geschlechts: Anteil mit 1, 2 und 3 Käufen;
e) entscheiden, ob die beiden Merkmale zusammenhängen.

Zum Text: „ob es ein Zusammenhang“ heißt „ob es einen Zusammenhang“ gibt; der Wortlaut bleibt stehen.

Der Weg:

Die Merkmale benennen (Schritt 1).
a) Die Liste auszählen und die Summen bilden (Schritte 2 und 3).
b) Durch 16 teilen und die Randverteilungen ablesen (Schritte 4 und 5).
c) und d) Durch die Zeilen- bzw. Spaltensumme teilen (Schritte 6 und 7).
e) Die Verteilungen vergleichen und gegenprüfen (Schritte 8 und 9).

Merke: Bei einer bedingten Verteilung teilt man nicht durch alle 16, sondern durch die Größe der Gruppe, die als Bedingung feststeht.

Zwei Merkmale, ihre Ausprägungen und die Schreibweise

Merkmal	Ausprägungen	in der Tabelle
$x$ : Kaufhäufigkeit	$x_1 = 1,\ x_2 = 2,\ x_3 = 3$	Zeilen
$y$ : Geschlecht	$y_1$ = männlich, $y_2$ = weiblich	Spalten

Bezeichnungen der Vorlesung

n_{ij} = \text{Anzahl der Kunden mit } x_i \text{ und } y_j

n_{i\cdot} = \text{Zeilensumme}, \quad n_{\cdot j} = \text{Spaltensumme}, \quad n = 16

Ein Merkmal ist eine Eigenschaft, die man an jedem Kunden feststellt. Hier gibt es zwei: $x$ = Kaufhäufigkeit und $y$ = Geschlecht. Die möglichen Werte heißen Ausprägungen: bei $x$ die Zahlen 1, 2 und 3, bei $y$ „männlich“ und „weiblich“.

Aus Blatt 1, Aufgabe 1 („Skalenniveaus: Urlaubsort bis Flugangst“): Ein nominales Merkmal hat nur Namen als Ausprägungen, ohne Reihenfolge. Ein metrisches Merkmal hat Zahlen, mit denen man rechnen kann. Das Geschlecht ist nominal, die Kaufhäufigkeit metrisch (eine Anzahl).

Die Vorlesung nummeriert die Ausprägungen. $x_1 = 1$ , $x_2 = 2$ , $x_3 = 3$ sind die Kaufhäufigkeiten, $y_1$ = männlich und $y_2$ = weiblich.

Achtung, zwei Bedeutungen des Index: In der Liste der Aufgabe zählt $i$ die Kunden (1 bis 16), $x_i$ ist dort der Wert von Kunde $i$ . Ab jetzt, in der Tabelle, zählt $i$ die Zeilen (1 bis 3) und $j$ die Spalten (1 bis 2).

Eine Tabelle, die zählt, wie oft jede Kombination zweier Merkmale vorkommt, heißt Kontingenztabelle. Hier: die Kaufhäufigkeiten als Zeilen, die Geschlechter als Spalten, also 3 · 2 = 6 Felder.

In der Grafik sind die drei Zeilen oben als Balken gezeichnet, die zwei Spalten unten.

Die Liste Kunde für Kunde auszählen

Kaufhäufigkeit	männlich: Kunden	weiblich: Kunden
1	13	5, 10, 16
2	1, 6, 8, 9	3, 12
3	2, 14	4, 7, 11, 15

Nummern je Feld zählen

n_{11} = 1, \quad n_{12} = 3

n_{21} = 4, \quad n_{22} = 2

n_{31} = 2, \quad n_{32} = 4

Probe: jeder Kunde genau einmal

1 + 3 + 4 + 2 + 2 + 4 = 16 = n

Jeder Kunde gehört in genau ein Feld: Zeile = seine Kaufhäufigkeit, Spalte = sein Geschlecht. Kunde 1 hat zweimal gekauft und ist männlich, er kommt in das Feld „2 Käufe, männlich“.

Am sichersten geht man die Liste einmal von oben nach unten durch und notiert die Kundennummer im passenden Feld. Am Ende zählt man die Nummern je Feld. Die Zahl in einem Feld heißt absolute Häufigkeit $n_{ij}$ .

Der Doppelindex liest sich „Zeile $i$ , Spalte $j$ “: $n_{21} = 4$ heißt, 4 Kunden haben zweimal gekauft und sind männlich.

In der Grafik ist der Balken „1 Kauf“ farbig: ein Mann (Kunde 13), drei Frauen (Kunden 5, 10, 16).

Geschlecht und Kaufhäufigkeit: bedingte Verteilungen

Die Aufgabe

Zwei Merkmale, ihre Ausprägungen und die Schreibweise

Die Liste Kunde für Kunde auszählen

Anteile je Gruppe

Abbildung 1Anteile je Gruppe

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Zwei Merkmale, ihre Ausprägungen und die Schreibweise

Schritt 2Die Liste Kunde für Kunde auszählen

Anteile je Gruppe

Abbildung 1Anteile je Gruppe

Die Aufgabe

Zwei Merkmale, ihre Ausprägungen und die Schreibweise

Die Liste Kunde für Kunde auszählen