Rentner und Produktinteresse: Phi- und Kontingenzkoeffizient

Die Aufgabe

Aufgabe 5

Rentner werden mit steigendem Durchschnittsalter der Bevölkerung eine immer wichtigere Zielgruppe für Unternehmen. Ein Unternehmen hat deshalb bei 100 Befragten die Merkmale „Interesse am Produkt“ und „Verrentung“ erhoben. Die Auswertung ergibt: 40 Personen sind Rentner und weisen ein Interesse am Produkt auf. 10 Befragte sind Rentner und am Produkt nicht interessiert. Anhand der folgenden Vierfeldertafel sind die Merkmale vollständig beschrieben:

x (Verrentung)	y (Interesse am Produkt): 1 (Ja)	2 (Nein)	Summe
1 (Ja)	40	10	50
2 (Nein)	20	30	50
Summe	60	40	100

Berechnen Sie den Phi-Koeffizient $\varphi$ und interpretieren diesen.
Berechnen Sie den Kontingenzkoeffizienten $C$ und den korrigieren Kontingenzkoeffizienten $C_{korr}$ und interpretieren diesen.

In eigenen Worten: Von jeder befragten Person kennt man zwei Dinge: ob sie Rentner ist (Ja oder Nein) und ob sie sich für das Produkt interessiert (Ja oder Nein). Die Tabelle zählt, wie oft jede der vier Kombinationen vorkommt. Gesucht ist, wie stark diese beiden Angaben zusammenhängen, ausgedrückt in einer Zahl.

a) den Phi-Koeffizienten $\varphi$ ausrechnen und in Worten deuten;
b) den Kontingenzkoeffizienten $C$ und den korrigierten Kontingenzkoeffizienten $C_{\text{korr}}$ ausrechnen und $C_{\text{korr}}$ in Worten deuten.

Zum Text: In a) steht „Phi-Koeffizient“, in b) „korrigieren“; gemeint sind der Phi-Koeffizient und der korrigierte Kontingenzkoeffizient. „Interpretieren diesen“ in b) bezieht sich auf $C_{\text{korr}}$ , die zuletzt genannte Zahl.

Interpretieren heißt: ein Satz zur Stärke des Zusammenhangs, bezogen auf Rentner und Interesse am Produkt.

Der Weg:

Die Tafel lesen und die Anteile der beiden Gruppen vergleichen (Schritte 1 und 2).
a) Den Phi-Koeffizienten berechnen und deuten (Schritte 3 bis 5).
b) Erwartete Häufigkeiten, Chi-Quadrat, $C$ und $C_{\text{korr}}$ (Schritte 6 bis 9).

Merke: Alle drei Kennzahlen fragen dasselbe: Wie weit weicht die Tafel von einer Tafel ohne Zusammenhang ab? Ohne Zusammenhang hätten Rentner und Nicht-Rentner denselben Anteil Interessierter.

Merkmale, Felder und Randsummen

	interessiert (Ja)	nicht (Nein)	Zeilensumme
Rentner	$a$ = 40	$b$ = 10	$a + b$ = 50
Nicht-Rentner	$c$ = 20	$d$ = 30	$c + d$ = 50
Spaltensumme	$a + c$ = 60	$b + d$ = 40	$n$ = 100

Probe: alle vier Felder zusammen ergeben n

a + b + c + d = 40 + 10 + 20 + 30 = 100 = n

Ein Merkmal ist eine Eigenschaft, die man an jeder befragten Person feststellt. Hier gibt es zwei: $x$ = Verrentung (Rentner oder nicht) und $y$ = Interesse am Produkt. Die möglichen Werte eines Merkmals heißen Ausprägungen: bei beiden „Ja“ und „Nein“.

Beide Merkmale sind nominal: Ihre Ausprägungen sind nur Namen, ohne Rangfolge. Beide sind außerdem dichotom: Sie haben genau zwei Ausprägungen.

Eine Tabelle, die zählt, wie oft jede Kombination zweier Merkmale vorkommt, heißt Kontingenztabelle. Mit zwei mal zwei Innenfeldern heißt sie Vierfeldertafel. Die Zahl in einem Feld ist eine absolute Häufigkeit: wie viele Befragte diese Kombination haben.

Aus Blatt 3, Aufgabe 1 („Sportverein: Vierfeldertafel und bedingte Wahrscheinlichkeit“): Dort standen in den vier Feldern Wahrscheinlichkeiten, und am Rand die Summen der Zeilen und Spalten. Hier stehen Anzahlen; der Aufbau ist derselbe.

Die Formelsammlung der Klausur nennt die vier Innenfelder $a$ , $b$ , $c$ , $d$ : erste Zeile $a$ und $b$ , zweite Zeile $c$ und $d$ . Die Zeilensummen (50 und 50) und Spaltensummen (60 und 40) am Rand heißen auch Randsummen. Unten rechts steht die Anzahl aller Befragten, $n = 100$ .

Der Aufgabentext nennt nur $a = 40$ und $b = 10$ ; die übrigen Zahlen stehen in der Tafel. In der Grafik ist jede Zeile ein Balken, die Länge eines Feldes ist seine Anzahl.

Was „Zusammenhang“ hier heißt

Anteil Interessierter je Gruppe

\text{Rentner: } \frac{40}{50} = 0{,}8 = 80\,\%

\text{Nicht-Rentner: } \frac{20}{50} = 0{,}4 = 40\,\%

Alle Befragten zusammen (Spaltensumme Ja durch n)

\frac{60}{100} = 0{,}6 = 60\,\%

Beide Gruppen sind gleich groß, je 50 Befragte. Trotzdem sind die Felder verschieden: Bei den Rentnern sind 40 interessiert, bei den Nicht-Rentnern nur 20.

Um Gruppen zu vergleichen, nimmt man Anteile: Anzahl in der Gruppe geteilt durch die Größe der Gruppe. Von den Rentnern sind 80 % interessiert, von den Nicht-Rentnern 40 %. Über alle 100 Befragten sind es 60 von 100, also 60 %.

Gäbe es keinen Zusammenhang, wäre der Anteil Interessierter in beiden Gruppen gleich. Ob jemand Rentner ist, würde dann nichts über sein Interesse verraten. Das heißt auch statistische Unabhängigkeit. Hier sind die Anteile verschieden: Verrentung und Interesse hängen zusammen.

Wie stark, sagt der bloße Vergleich nicht. Dafür gibt es die Kennzahlen aus a) und b). Für alle gilt: 0 heißt kein Zusammenhang; je größer der Betrag, desto stärker der Zusammenhang.

Gerundet wird im ganzen Lösungsweg erst am Ende: Koeffizienten auf drei Nachkommastellen, Zwischenwerte mit vier.

Rentner und Produktinteresse: Phi- und Kontingenzkoeffizient

Die Aufgabe

Merkmale, Felder und Randsummen

Was „Zusammenhang“ hier heißt

Rentner und Nicht-Rentner, je 50 Befragte

Abbildung 1Rentner und Nicht-Rentner, je 50 Befragte

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Merkmale, Felder und Randsummen

Schritt 2Was „Zusammenhang“ hier heißt

Rentner und Nicht-Rentner, je 50 Befragte

Abbildung 1Rentner und Nicht-Rentner, je 50 Befragte

Die Aufgabe

Merkmale, Felder und Randsummen

Was „Zusammenhang“ hier heißt