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Statistik · Übungsblatt 5 · Aufgabe 4

Warum eine Dichte größer als 1 sein darf

Eine Wahrscheinlichkeit ist nie größer als 1. Die Dichte aus Aufgabe 2 wird aber fast 4 hoch. Ist das ein Widerspruch? Nein: Bei einer Dichte ist die Wahrscheinlichkeit die Fläche unter der Kurve, nicht ihre Höhe. Wir zeigen das an einem einfachen Rechteck und an der Dichte aus Aufgabe 2. Der ganze Lösungsweg steht von Anfang an da. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran, die Erklärung gehört jeweils zum aktuellen Schritt. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Die Aufgabe

Aufgabe 4

Warum kann eine Dichtefunktion Werte größer als 1 annehmen, obwohl die Wahrscheinlichkeiten immer kleiner oder gleich 1 sein müssen?

In eigenen Worten: Eine Dichtefunktion ff beschreibt, wie eine stetige Zufallsvariable (ZV) XX ihre Werte verteilt. Manche Dichten sind an manchen Stellen höher als 1. Wahrscheinlichkeiten liegen aber immer zwischen 0 und 1. Die Frage ist, wie beides zusammenpasst.

Gesucht ist eine Begründung in Worten, keine Zahl. Die Lösung zum Blatt verweist nur auf das Skript; die Begründung hier folgt dem Skript und der Formelsammlung.

Der Weg:

  1. Vergleichen, was die Formelsammlung von f verlangt: diskret und stetig (Schritt 1).
  2. An einem Rechteck mit Höhe 2 zeigen, dass die Fläche trotzdem 1 ist (Schritt 2).
  3. Zeigen, dass jede Wahrscheinlichkeit ein Teil dieser Fläche ist (Schritt 3).
  4. Klären, was die Höhe dann bedeutet: Wahrscheinlichkeit je Breite (Schritt 4).
  5. Dasselbe an der Dichte 4x³ aus Aufgabe 2 nachrechnen (Schritt 5).
  6. Die Antwort in zwei Sätzen formulieren (Schritt 6).
Merke: Wahrscheinlichkeit = Fläche = Breite mal Höhe. Eine große Höhe über einer kleinen Breite ergibt eine kleine Fläche.

Was die Formelsammlung von f verlangt

Diskrete ZV: Eigenschaften der Wahrscheinlichkeitsfunktion (Formelsammlung)
(1)0≤f(x)≤1(2)∑if(xi)=1(1)\quad 0 \le f(x) \le 1 \qquad (2)\quad \sum_i f(x_i) = 1
Stetige ZV: Eigenschaften der Dichtefunktion (Formelsammlung)
(1)f(x)≥0(2)∫−∞∞f(x) dx=1(1)\quad f(x) \ge 0 \qquad (2)\quad \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1
(3)P(a<X≤b)=∫abf(x) dx(3)\quad P(a < X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx

Der Buchstabe ff steht in der Formelsammlung für zwei verschiedene Dinge. Ein Vergleich zeigt schon den Kern der Antwort.

Aus Blatt 3, Aufgabe 7 („Diskrete Verteilungsfunktion: zeichnen und ablesen“): Bei einer diskreten ZV mit einzelnen, getrennten Werten ist f(x)=P(X=x)f(x) = P(X = x) selbst eine Wahrscheinlichkeit, die Wahrscheinlichkeitsfunktion. Dort springt die Verteilungsfunktion an jedem Wert um genau f(x)f(x).

Darum verlangt die Formelsammlung für die diskrete Wahrscheinlichkeitsfunktion 0≤f(x)≤10 \le f(x) \le 1.

Für die Dichtefunktion einer stetigen ZV (Werte in einem ganzen Bereich) steht dort nur f(x)≥0f(x) \ge 0. Eine obere Grenze fehlt. Gefordert ist stattdessen, dass die ganze Fläche unter ff gleich 1 ist.

Das Integral ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx ist die Fläche unter ff von aa bis bb; ∞\infty heißt „unendlich“, also über die ganze x-Achse.

Ein Rechteck mit Höhe 2 hat die Fläche 1

Beispiel: X gleichmäßig zwischen 0 und 0,5
f(x)={2fu¨r 0<x<0,50sonstf(x) = \begin{cases} 2 & \text{für } 0 < x < 0{,}5 \\ 0 & \text{sonst} \end{cases}
Ganze Fläche: ein Rechteck, Breite mal Höhe
∫−∞∞f(x) dx=∫00,52 dx=0,5⋅2=1\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_0^{0{,}5} 2\,dx = 0{,}5 \cdot 2 = 1

Ein einfaches Beispiel macht es greifbar. XX soll gleichmäßig zwischen 0 und 0,5 liegen. Jeder Wert dort ist gleich wahrscheinlich, die Dichte ist also überall gleich hoch. Wie hoch muss sie sein?

Die Fläche unter einer waagerechten Linie ist ein Rechteck: Breite mal Höhe. Die Breite ist 0,5−0=0,50{,}5 - 0 = 0{,}5. Damit die Fläche 1 wird, muss die Höhe 1:0,5=21 : 0{,}5 = 2 sein.

Prüfung nach der Formelsammlung: (1) ff ist nie negativ. (2) Die ganze Fläche ist 1. Also ist ff eine erlaubte Dichte, obwohl sie überall zwischen 0 und 0,5 doppelt so hoch ist wie die gestrichelte Linie bei 1.

Allgemein: Je schmaler der Bereich, desto höher muss die Dichte sein. Bei einer Breite von 0,1 wäre sie 10 hoch.

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Höhe und Fläche

zwei Dichten, die höher als 1 sind

Abbildung 1Höhe und Fläche

zwei Dichten, die höher als 1 sind

0123400,250,50,7511,25Höhe f(x)Wert xHöhe 1f(x) = 24x³Fläche 10,2 · 2 = 0,40,05 · 2 = 0,1Fläche ≈ 0,1855
Legendedurchgezogen: die Dichtegestrichelt waagerecht: Höhe 1getönt: eine Fläche, also eine WahrscheinlichkeitEine Beispiel-Dichte: zwischen 0 und 0,5 auf der Höhe 2, sonst 0. Die gestrichelte waagerechte Linie markiert die Höhe 1, die größte mögliche Wahrscheinlichkeit.