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Statistik · Übungsblatt 6 · Aufgabe 4

Haustiere: Konfidenzintervall für einen Anteil

34 von 200 Passanten sagen, dass sie ein Haustier haben. Das sind 17 %. Gefragt ist, wie genau dieser Anteil für alle Menschen gilt: als durchschnittlicher Fehler und als Bereich mit 90 % Sicherheit. Anders als bei Mittelwerten geht es hier um einen Anteil, also um ein Ja oder Nein je Person. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Die Aufgabe

Aufgabe 4

Wir befragen 200 Passanten auf der Straße, ob sie ein Haustier besitzen. In 34 Fällen erhielten wir eine positive Antwort, der Rest der Passanten habe kein Haustier.

  1. Berechnen und interpretieren Sie den Standardfehler.
  2. Konstruieren und interpretieren Sie das 90%-Konfidenzintervall.

In eigenen Worten: Jeder Passant antwortet nur mit Ja (Haustier) oder Nein. Der Anteil der Ja-Antworten in der Stichprobe schätzt den Anteil in der ganzen Bevölkerung. Eine andere Stichprobe von 200 Passanten hätte einen etwas anderen Anteil ergeben. Die Aufgabe will wissen:

  • a) wie weit der Anteil der Stichprobe im Durchschnitt danebenliegt,
  • b) einen Bereich, in dem der wahre Anteil mit 90 % Sicherheit liegt.

Der Weg:

  1. Den Anteil in der Stichprobe ausrechnen (Schritt 1).
  2. Standardfehler berechnen und deuten (a, Schritte 2 und 3).
  3. Formel aufstellen und z-Wert ablesen (b, Schritte 4 und 5).
  4. Grenzen ausrechnen und deuten (b, Schritte 6 und 7).
Merke: Auch beim Anteil gilt: Intervall = Schätzwert minus und plus z-Wert mal Standardfehler. Nur der Standardfehler hat eine eigene Formel.

Hinweis: In der Formelsammlung fehlt beim Intervall für einen Anteil der z-Wert. Das Skript rechnet mit ihm. Schritt 4 erklärt, warum er dazugehört.

Anteil in der Stichprobe

Punktschätzung für p (Formelsammlung, Seite 11)
p^=Xn=34200=0,17=17 %\hat{p} = \frac{X}{n} = \frac{34}{200} = 0{,}17 = 17\,\%

Der wahre Anteil der Haustierbesitzer in der Bevölkerung heißt pp. Wir kennen ihn nicht. Der Anteil in der Stichprobe ist der beste Tipp für ihn. Er heißt p^\hat{p} (gesprochen „p Dach“; das Dach heißt „geschätzt“).

XX ist die Zahl der Ja-Antworten, nn die Zahl der Befragten.

Aus Blatt 3, Aufgabe 3 („Gold und Silber aus der Urne: Binomialverteilung“): Hat jeder Versuch nur zwei Ausgänge (hier: Haustier ja oder nein), zählt die Binomialverteilung, wie oft „ja“ vorkommt. Auf ihr beruht die Formel für den Standardfehler im nächsten Schritt.

Standardfehler berechnen

Standardfehler eines Anteils (Wurzel aus der Formel der Formelsammlung, Seite 11)
SE=p^(1−p^)n=0,17⋅0,83200=0,1411200=0,0007055=0,0266\begin{aligned} SE &= \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0{,}17 \cdot 0{,}83}{200}} \\ &= \sqrt{\frac{0{,}1411}{200}} = \sqrt{0{,}0007055} = 0{,}0266 \end{aligned}

Der Standardfehler (kurz SE, englisch standard error) sagt, wie stark der Anteil einer Stichprobe im Durchschnitt vom wahren Anteil abweicht.

Für einen Anteil gibt es eine eigene Formel. Im Zähler steht p^(1−p^)\hat{p}(1 - \hat{p}): Anteil der Ja-Antworten mal Anteil der Nein-Antworten. Unter dem Bruchstrich steht die Zahl der Befragten. Der Anteil der Nein-Antworten ist 1−0,17=0,831 - 0{,}17 = 0{,}83 (166 von 200).

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Anteil und Konfidenzintervall

Anteil der Haustierbesitzer in Prozent

Abbildung 1Anteil und Konfidenzintervall

Anteil der Haustierbesitzer in Prozent

1012,51517,52022,525Anteil in %Anteil 17 %SE = 2,6612,6321,37
LegendeAnteil (gestrichelt), Standardfehler (Klammer) und Intervall (dicker Strich), alles in ProzentZahlengerade des Anteils in Prozent. Die Schritte tragen Anteil, Standardfehler und Intervall ein.