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Statistik · Übungsblatt 6 · Aufgabe 10

Fehler 1. und 2. Art

Ein Test entscheidet mit Daten aus einer Stichprobe. Darum kann er sich irren, und zwar auf zwei Arten: Fehler 1. Art und Fehler 2. Art. Zwei Beispiele zeigen, was die Fehler im echten Leben bedeuten. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Die Aufgabe

Überlegen Sie sich jeweils zwei Beispiele, um den Fehler 1. und 2. Art zu verdeutlichen.

In eigenen Worten: Man soll sich zwei Situationen ausdenken, in denen ein Test eingesetzt wird. Für jede beschreibt man, was ein Fehler 1. Art und was ein Fehler 2. Art wäre. Zu rechnen gibt es nichts.

Aus Blatt 6, Aufgabe 7 („Unterschiedshypothesen aufstellen“): Die Nullhypothese H0H_0 sagt: In der Population gibt es keinen Effekt. Die Alternativhypothese H1H_1 sagt: Es gibt einen. Der Test entscheidet, ob die Daten gegen H0H_0 sprechen.

So gehen wir vor:

  1. Die vier möglichen Ausgänge eines Tests aufschreiben.
  2. Die beiden Fehler nach dem Skript benennen.
  3. Das Beispiel des Skripts ansehen: das Gericht.
  4. Klären, welchen Fehler man steuern kann.
  5. Beispiel 1: Qualitätskontrolle in einer Fabrik.
  6. Beispiel 2: ein neues Medikament.
Klausur: Zu jedem Beispiel gehören drei Dinge: H0H_0, was der Fehler 1. Art dort heißt, und was der Fehler 2. Art dort heißt.

Vier mögliche Ausgänge

Test entscheidetin Wahrheit gilt H0in Wahrheit gilt H1
für H0 (nicht ablehnen)richtigFehler 2. Art (β-Fehler)
für H1 (H0 ablehnen)Fehler 1. Art (α-Fehler)richtig

Ob H0H_0 in der Population stimmt, weiß man nicht. Der Test sieht nur die Stichprobe. Darum gibt es zwei Fragen: Was gilt in Wahrheit? Und wofür entscheidet sich der Test?

Jede Frage hat zwei Antworten. Das ergibt vier Ausgänge. In zwei davon passen Wahrheit und Entscheidung zusammen; die Entscheidung ist richtig. In den anderen zwei passen sie nicht zusammen; das sind die beiden Fehler.

„Nicht ablehnen“ heißt: Die Daten reichen nicht, um H0H_0 zu verwerfen. Das Skript nennt das auch „Entscheidung für H0H_0“.

Fehler 1. Art und Fehler 2. Art

Definition · Fehler 1. Art

Die Ablehnung einer richtigen Nullhypothese heißt Fehler 1. Art oder α-Fehler.

Definition · Fehler 2. Art

Die Nichtablehnung einer falschen Nullhypothese heißt Fehler 2. Art oder β-Fehler.

  • Fehler 1. Art (auch α\alpha-Fehler, gesprochen „alpha“): H0H_0 stimmt, aber der Test lehnt sie ab. Man glaubt an einen Effekt, den es nicht gibt.
  • Fehler 2. Art (auch β\beta-Fehler, gesprochen „beta“): H0H_0 ist falsch, aber der Test lehnt sie nicht ab. Man übersieht einen Effekt, den es gibt.

Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art ist α\alpha. Das ist genau das Signifikanzniveau des Tests (auch Irrtumswahrscheinlichkeit), etwa 5 %.

Eselsbrücke: Der 1. Fehler sieht etwas, das nicht da ist (falscher Alarm). Der 2. Fehler übersieht etwas, das da ist.
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Vier Ausgänge eines Tests

Wahrheit gegen Entscheidung

Abbildung 1Vier Ausgänge eines Tests

Wahrheit gegen Entscheidung

In Wahrheit gilt H0
In Wahrheit gilt H1
Test: H0 nicht ablehnenEntscheidung für H0
richtigH0 stimmt und bleibt stehen
Fehler 2. Art (β-Fehler)H0 ist falsch, wird aber nicht abgelehnt
Test: H0 ablehnenEntscheidung für H1
Fehler 1. Art (α-Fehler)H0 stimmt, wird aber abgelehnt
richtigH0 ist falsch und wird abgelehnt
Legendegerade gemeintrot umrandet: ein FehlerSpalten: was in Wahrheit gilt. Zeilen: was der Test entscheidet. Rot umrandet sind die beiden Fehler.