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Statistik · Übungsblatt 7 · Aufgabe 6

Würfel: ist er manipuliert?

Ein Würfel wird 90-mal geworfen. Die 1 fällt 19-mal, die 4 nur 12-mal. Ist das noch Zufall, oder ist der Würfel manipuliert? Ein Chi-Quadrat-Anpassungstest gibt die Antwort. Das ist Aufgabe 6 von Übungsblatt 7 (Testverfahren). Der ganze Lösungsweg steht von Anfang an da. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran, die Erklärung gehört jeweils zum aktuellen Schritt. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Die Aufgabe

Aufgabe 6

Wir würfeln 90 Mal mit einem Würfel. Wenn der Würfel in Ordnung ist, erwarten wir, dass die Ergebnisse der Würfe gleichverteilt sind. Die Ergebnisse der 90 Würfe sind wie folgt:

Gewürfelte ZahlAbsolute Häufigkeit
119
213
314
412
517
615

Ist der Würfel in Ordnung oder haben wir es mit einem manipulierten Würfel zu tun (α = 0,05)?

In eigenen Worten: Bei einem fairen Würfel fällt jede Augenzahl mit derselben Wahrscheinlichkeit 1/6. Das heißt Gleichverteilung. Bei 90 Würfen erwartet man also jede Zahl etwa 15-mal. Ganz genau 15 kommt selten vor, etwas Schwankung ist normal. Gesucht ist, ob die beobachteten Abweichungen zu groß sind, um noch Zufall zu sein.

Gesucht: eine Testentscheidung mit dem Signifikanzniveau α = 0,05 und die Antwort auf die Frage „Ist der Würfel in Ordnung?“.

Der Test läuft in den fünf Testschritten des Kurses:

  1. Testschritt 1: Hypothesen aufstellen (Schritt 2).
  2. Testschritt 2: Signifikanzniveau festlegen (Schritt 3).
  3. Testschritt 3: den Prüfwert χ² aus den Daten berechnen (Schritte 4 bis 6).
  4. Testschritt 4: den kritischen Wert aus der Tabelle ablesen (Schritte 7 und 8).
  5. Testschritt 5: vergleichen und entscheiden (Schritte 9 und 10).
Merke: Ein Anpassungstest vergleicht beobachtete Häufigkeiten mit denen, die eine vorgegebene Verteilung erwarten lässt. Je weiter beide auseinanderliegen, desto größer wird der Prüfwert χ².

Welcher Test, und warum

GegebenWert
Anzahl Würfe n90
Anzahl Augenzahlen k6
Vermutete Verteilungje 1/6
Signifikanzniveau α0,05

Die Daten sind Häufigkeiten: Wie oft fiel jede Augenzahl? Die Frage lautet, ob diese Häufigkeiten zu einer festen Verteilung passen, hier zur Gleichverteilung. Dafür ist der Chi-Quadrat-Anpassungstest da (χ², gesprochen „chi quadrat“). „Anpassung“ heißt: Passen die Daten an die vermutete Verteilung? In der Formelsammlung heißt die Zeile f (Freiheitsgrade) und die Spalte P (das ist 1−α1 - \alpha).

Der Test fasst alle Abweichungen zwischen beobachtet und erwartet in einer Zahl zusammen, dem Prüfwert. Diese Zahl vergleicht er mit einer Grenze aus einer Tabelle.

Testschritt 1: Hypothesen aufstellen

Nullhypothese: der Würfel ist in Ordnung
H0:  p1=p2=⋯=p6=16H_0:\; p_1 = p_2 = \dots = p_6 = \tfrac{1}{6}
Alternativhypothese: der Würfel ist manipuliert
H1:  mindestens ein pi≠16H_1:\; \text{mindestens ein } p_i \ne \tfrac{1}{6}

Die Nullhypothese H0H_0 beschreibt den Normalfall: Der Würfel ist in Ordnung. Jede Augenzahl ii (von 1 bis 6) hat dann die Wahrscheinlichkeit pi=16p_i = \tfrac{1}{6}. Die Alternativhypothese H1H_1 sagt das Gegenteil: Mindestens eine Zahl fällt mit einer anderen Wahrscheinlichkeit.

Der Test geht von H0H_0 aus. Er verwirft sie nur, wenn die Würfe unter H0H_0 sehr unwahrscheinlich wären.

Noch 9 Schritte bis zum Ergebnis
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Beobachtet und erwartet

oben die Würfe, unten die Skala des Prüfwerts

Abbildung 1Beobachtet und erwartet

oben die Würfe, unten die Skala des Prüfwerts

Würfe je Augenzahl191132143124175156erwartet: 15+4−2−1−3+201,0670,2670,0670,6000,2670Skala des Prüfwerts χ²024681012142,26711,070AnnahmeAblehnungPrüfwert χ²
LegendeAnnahmebereichAblehnbereichOben: wie oft jede Augenzahl in 90 Würfen fiel. Unten steht später die Skala für den Prüfwert χ².