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Statistik · Übungsblatt 7 · Aufgabe 12

Raumtemperatur: abhängige und unabhängige Stichproben

Fünf Patienten machen eine Diät. Gemessen wird ihr Gewichtsverlust bei niedriger und bei hoher Raumtemperatur während der Mahlzeiten. Gefragt ist, ob die Temperatur einen Einfluss hat. Gerechnet wird mit den Formeln und der t-Tabelle der Formelsammlung, einmal für unabhängige und einmal für abhängige Stichproben. Der ganze Lösungsweg steht von Anfang an da. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Die Aufgabe

Aufgabe 12

Eine Untersuchung analysiert, ob bei der Einnahme von Mahlzeiten eine niedrigere oder höhere Raumtemperatur einen Einfluss darauf hat, dass Patienten bei einer Diät Gewicht verlieren. Folgende Tabelle veranschaulicht den Gewichtsverlust der 5 Patienten:

Patienten Nr.Niedrige RaumtemperaturHohe Raumtemperatur
1−0,5−1,2
2−3,10,5
30,3−0,7
4−0,50
51,40,7
  1. Bestimmen Sie die Mittelwerte, Mittelwertdifferenz sowie ein geeignetes Maß als Schätzwert für den Mittelwertunterschied in der Population.
  2. Bestimmen Sie Standardfehler und 95%-Konfidenzintervall für eine unabhängige sowie eine abhängige Stichprobe und geben Sie an, was damit genau gemeint ist.
  3. Führen Sie anschließend für beide Szenarien einen 2-seitigen Signifikanztest auf einem 5%-Signifikanzniveau durch und interpretieren Sie die Ergebnisse.

Jeder der fünf Patienten hat zwei Werte: den Gewichtsverlust bei niedriger und den bei hoher Raumtemperatur. Eine Einheit nennt die Aufgabe nicht. Wörtlich gelesen heißt ein negativer Gewichtsverlust: Der Patient hat zugenommen. Für die Rechnung spielt die Deutung des Vorzeichens keine Rolle.

Teilwas verlangt ist
a)Mittelwerte, ihre Differenz und der Schätzwert für die Population
b)Standardfehler und 95-%-Intervall, unabhängig und abhängig, mit Bedeutung
c)Test zweiseitig bei 5 %, für beide Fälle, mit Deutung
Aus Blatt 6, Aufgabe 11 („Abhängige und unabhängige Stichproben“): Abhängig heißt: Dieselben Personen stehen in beiden Spalten, die zwei Werte eines Patienten gehören als Paar zusammen. Unabhängig heißt: In den Spalten stehen verschiedene Personen, es gibt keine Paare.

Hier stehen dieselben fünf Patienten in beiden Spalten. Der Sache nach passt also die abhängige Rechnung. Die Aufgabe verlangt beide Rechnungen, damit man sie vergleichen kann.

Der Weg:

  1. a) Mittelwerte und ihre Differenz (Schritte 1 und 2).
  2. b) Standardfehler für den unabhängigen Fall (Schritte 3 und 4) und für den abhängigen Fall (Schritte 5 bis 7), Bedeutung (Schritt 8). Dann t-Werte und beide 95-%-Intervalle (Schritte 9 bis 12).
  3. c) Beide Tests in den 5 Testschritten (Schritte 13 bis 16).
Merke: Bei einer abhängigen Stichprobe rechnet man mit den Differenzen je Person, bei einer unabhängigen mit den beiden Spalten getrennt.

Mittelwerte der beiden Spalten

Mittelwert
xˉ=1n∑i=1nxi\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i
Niedrige Raumtemperatur (A), Werte eingesetzt
xˉA=−0,5+(−3,1)+0,3+(−0,5)+1,45=−2,45=−0,48\bar{x}_A = \frac{-0{,}5 + (-3{,}1) + 0{,}3 + (-0{,}5) + 1{,}4}{5} = \frac{-2{,}4}{5} = -0{,}48
Hohe Raumtemperatur (B), Werte eingesetzt
xˉB=−1,2+0,5+(−0,7)+0+0,75=−0,75=−0,14\bar{x}_B = \frac{-1{,}2 + 0{,}5 + (-0{,}7) + 0 + 0{,}7}{5} = \frac{-0{,}7}{5} = -0{,}14

Der Mittelwert xˉ\bar{x} („x quer“) ist die Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl nn. Hier ist n=5n = 5. Die Spalte „niedrige Raumtemperatur“ heißt ab jetzt AA, die Spalte „hohe Raumtemperatur“ BB.

Bei den negativen Werten auf die Vorzeichen achten: Man addiert sie mit ihrem Minus.

Mittelwertdifferenz als Schätzwert

Mittelwertdifferenz
xˉA−xˉB=−0,48−(−0,14)=−0,48+0,14=−0,34\bar{x}_A - \bar{x}_B = -0{,}48 - (-0{,}14) = -0{,}48 + 0{,}14 = -0{,}34
Schätzwert für den Unterschied in der Population
μA−μB^=xˉA−xˉB=−0,34\widehat{\mu_A - \mu_B} = \bar{x}_A - \bar{x}_B = -0{,}34

Die Mittelwertdifferenz ist der Unterschied der beiden Mittelwerte. Hier ist sie negativ: Bei niedriger Temperatur war der Gewichtsverlust im Mittel um 0,34 kleiner als bei hoher.

Schätzwert für die Population: Gemeint ist der wahre Unterschied μA−μB\mu_A - \mu_B aller möglichen Patienten. μ\mu („mü“) ist der Mittelwert der Population. Man kennt ihn nicht. Das geeignete Maß, um ihn zu schätzen, ist die Mittelwertdifferenz der Stichprobe selbst. So steht es auch im Skript.

Wie genau diese Schätzung ist, sagt sie allein nicht. Dafür braucht man in b) den Standardfehler.

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Paare und Intervalle

oben die Werte der Patienten, unten die Konfidenzintervalle

Abbildung 1Paare und Intervalle

oben die Werte der Patienten, unten die Konfidenzintervalle

Patient 1Patient 2Patient 3Patient 4Patient 5x̄ niedrig = −0,48x̄ hoch = −0,14Mittel der d: −0,34−3−2−1012Gewichtsverlustunabhängig: [−2,24; 1,56]abhängig: [−2,71; 2,03]−3−2−1012
Legendehohle Punkte: niedrige, volle Punkte: hohe RaumtemperaturFarbe: im Schritt gemeintOben: die fünf Patienten mit ihren zwei Werten. Unten: die Konfidenzintervalle für den Unterschied der Mittelwerte; die gestrichelte senkrechte Linie bei 0 heißt „kein Unterschied“.