Alter an zwei Campus: Zweistichprobentest

Die Aufgabe

Aufgabe 14

Es werden zwei unabhängige Stichproben der Umfänge $n_1 = 25$ und $n_2 = 25$ aus den Studenten/innen am Campus Zweibrücken und Kaiserslautern gezogen und das Alter ermittelt. Als Durchschnittsalter erhält man $\bar{x}_1 = 20{,}8$ und $\bar{x}_2 = 22{,}3$ . Die Varianzen sind 4 bzw. 8. Es ist zu testen, ob die Mittelwerte beider Grundgesamtheiten, die als näherungsweise normalverteilt angesehen werden können, sich signifikant unterscheiden. Das Signifikanzniveau beträgt 1%.

In eigenen Worten: Zwei Gruppen von je 25 Studenten, an jedem Campus eine. Die Gruppen bestehen aus verschiedenen Personen, sie sind also unabhängige Stichproben. Die Mittelwerte unterscheiden sich um 1,5 Jahre. Geprüft wird, ob das an den Stichproben liegt oder ob sich auch die Grundgesamtheiten unterscheiden, also alle Studenten beider Standorte.

	Zweibrücken (1)	Kaiserslautern (2)
Umfang n	25	25
$\text{Mittelwert } \bar{x}$	20,8	22,3
$\text{Varianz } s^2$	4	8

„Unterscheiden sich“ hat keine Richtung. Darum wird zweiseitig getestet. Das Niveau ist mit 1 % streng.

Merke: Ein Zweistichprobentest teilt den Unterschied der Mittelwerte durch seinen Standardfehler. Ist dieser Quotient groß genug, ist der Unterschied signifikant.

Der Weg: die 5 Testschritte. Hypothesen und Niveau (Schritt 1), Standardfehler und Prüfwert (Schritte 2 und 3), kritischer Wert (Schritt 4), Vergleich (Schritt 5). Zum Schluss eine Ergänzung: was bei 5 % herauskäme (Schritt 6).

Testschritte 1 und 2: Hypothesen und Signifikanzniveau

Hypothesen

H_0\!: \mu_1 = \mu_2 \qquad H_1\!: \mu_1 \neq \mu_2

Signifikanzniveau, zweiseitig

\alpha = 0{,}01 \qquad 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0{,}005 = 0{,}995

Testschritt 1: Hypothesen. $\mu$ („mü“) ist der Mittelwert der Grundgesamtheit: $\mu_1$ das Durchschnittsalter aller Studenten in Zweibrücken, $\mu_2$ in Kaiserslautern. Die Nullhypothese $H_0$ sagt „kein Unterschied“, die Alternativhypothese $H_1$ sagt „es gibt einen Unterschied“, in beliebiger Richtung.

Testschritt 2: Signifikanzniveau. $\alpha$ ist die Wahrscheinlichkeit, $H_0$ abzulehnen, obwohl sie stimmt. Hier $\alpha = 1\,\%$ . Zweiseitig verteilt sich α auf beide Ränder: je 0,5 %. Darum gilt später die Spalte $1 - \alpha/2 = 0{,}995$ .

Testschritt 3a: Standardfehler des Unterschieds

Formelsammlung: unabhängige Messungen, gleiche Gruppengröße n

\hat{\sigma}_{\bar{x}_1-\bar{x}_2} = \sqrt{\frac{s_1^2 + s_2^2}{n}}

Eingesetzt

\hat{\sigma}_{\bar{x}_1-\bar{x}_2} = \sqrt{\frac{4 + 8}{25}} = \sqrt{\frac{12}{25}} = \sqrt{0{,}48} = 0{,}6928

Bevor man den Prüfwert berechnen kann, braucht man den Standardfehler des Unterschieds. Er sagt, um wie viel die Differenz zweier Stichprobenmittelwerte typischerweise vom wahren Unterschied abweicht.

Aus Blatt 7, Aufgabe 12 („Raumtemperatur: abhängige und unabhängige Stichproben“): Bei unabhängigen Stichproben gleicher Größe

n

gilt

\hat{\sigma} = \sqrt{(s_A^2 + s_B^2)/n}

. Dort waren es 5 Patienten je Gruppe.

Hier sind beide Gruppen gleich groß, $n = 25$ . Die Varianzen 4 und 8 sind gegeben, man muss sie nicht erst ausrechnen. Die Formel setzt voraus, dass beide Grundgesamtheiten gleich stark streuen. So steht es in der Formelsammlung, und die Aufgabe fragt nicht danach.

Alter an zwei Campus: Zweistichprobentest

Die Aufgabe

Testschritte 1 und 2: Hypothesen und Signifikanzniveau

Testschritt 3a: Standardfehler des Unterschieds

t-Verteilung

Abbildung 1t-Verteilung

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Testschritte 1 und 2: Hypothesen und Signifikanzniveau

Schritt 2Testschritt 3a: Standardfehler des Unterschieds

t-Verteilung

Abbildung 1t-Verteilung

Die Aufgabe

Testschritte 1 und 2: Hypothesen und Signifikanzniveau

Testschritt 3a: Standardfehler des Unterschieds