Werbespots: Signifikanz aus dem Bestimmtheitsmaß

Die Aufgabe

Aufgabe 2

Ein Unternehmen macht an zehn verschiedenen Standorten insgesamt Umsätze von 225 Millionen EUR. Es vermutet, dass ein signifikanter Zusammenhang zwischen Anzahl der Werbespots, Anzahl der Vertriebsmitarbeiter und dem jeweiligen Umsatz besteht.

	Anzahl Werbespots: $x_1$	Anzahl Vertriebsmitarbeiter: $x_2$	Umsatz in Millionen Euro: $y$
Summe	935	150	225

Eine Regressionsanalyse liefert dem Unternehmen folgendes Ergebnis:

\hat{y} = 4{,}4939 + 0{,}061 \cdot x_1 + 0{,}098 \cdot x_2

Interpretieren Sie den Wert für $b_2 = 0{,}098$ .
Ist der ermittelte Zusammenhang signifikant auf einem Signifikanzniveau von 5%, wenn das Bestimmtheitsmaß einen Wert von 0,92 hat?

In eigenen Worten: An 10 Standorten kennt man die Zahl der Werbespots $x_1$ , die Zahl der Vertriebsmitarbeiter $x_2$ und den Umsatz $y$ in Mio. Euro. Die Tabelle nennt nur die Summen. Eine Regression hat daraus eine Gleichung gemacht. Gesucht ist:

a) was das Gewicht 0,098 der Mitarbeiter bedeutet,
b) ob der Zusammenhang bei α = 5 % signifikant ist, wenn $r^2 = 0{,}92$ .

Der Weg:

Modell und Einheiten klären, das Gewicht deuten (a, Schritte 1 und 2).
Klären, was 0,92 sagt, dann den F-Test in fünf Testschritten (b, Schritte 3 bis 7).

Zu den Summen: Für a) und b) braucht man sie nicht. Sie passen auch nicht zur Gleichung. Eine Regressionsgleichung mit Konstante trifft an den Mittelwerten (93,5 Spots, 15 Mitarbeiter) genau den mittleren Umsatz 22,5. Hier ergibt sie $4{,}4939 + 0{,}061 \cdot 93{,}5 + 0{,}098 \cdot 15 = 11{,}67$ . Wir rechnen darum nur mit der Gleichung und mit $r^2$ .

Merke: Für den F-Test reichen drei Zahlen: das Bestimmtheitsmaß

r^2

, die Zahl der Beobachtungen

K

und die Zahl der erklärenden Variablen

J

Das Modell und seine Einheiten

Gleichung der Aufgabe mit Einheiten

\underbrace{\hat{y}}_{\text{Mio. Euro}} = 4{,}4939 + 0{,}061 \cdot \underbrace{x_1}_{\text{Spots}} + 0{,}098 \cdot \underbrace{x_2}_{\text{Mitarbeiter}}

Die Gleichung schätzt den Umsatz $\hat{y}$ (sprich „y Dach“) aus zwei Größen zugleich. Das ist eine multiple Regression. Die Zahlen vor $x_1$ und $x_2$ heißen Regressionsgewichte $b_1$ und $b_2$ .

Vor dem Deuten klärt man die Einheiten: $x_1$ und $x_2$ sind einfache Anzahlen (Stück und Personen), $y$ ist in Mio. Euro. Ein Gewicht hat darum die Einheit „Mio. Euro je Spot“ bzw. „Mio. Euro je Mitarbeiter“.

Aus Blatt 8, Aufgabe 1 („Modehäuser: multiple Regression und F-Test“): Ein Gewicht sagt, um wie viel sich der Schätzwert ändert, wenn seine Größe um 1 wächst und die andere gleich bleibt.

b2 = 0,098 deuten

Ein Mitarbeiter mehr, Werbespots gleich

\Delta\hat{y} = 0{,}098 \cdot (x_2 + 1) - 0{,}098 \cdot x_2 = 0{,}098 \ \text{Mio. Euro} = 98.000 \ \text{Euro}

$b_2 = 0{,}098$ : Hat ein Standort einen Vertriebsmitarbeiter mehr und gleich viele Werbespots, steigt der geschätzte Umsatz um 0,098 Mio. Euro, also um 98.000 Euro.

Man vergleicht zwei Standorte mit gleich vielen Werbespots. Der eine hat einen Mitarbeiter mehr. In der Gleichung ändert sich dann nur der Teil $0{,}098 \cdot x_2$ , und zwar um 0,098. In der Grafik ist das eine Stufe zwischen zwei Säulen.

Das Zeichen Δ (sprich „Delta“) steht für die Änderung. 0,098 Mio. Euro sind $0{,}098 \cdot 1.000.000 = 98.000$ Euro.

Werbespots: Signifikanz aus dem Bestimmtheitsmaß

Die Aufgabe

Das Modell und seine Einheiten

b2 = 0,098 deuten

Mehrumsatz je Mitarbeiter

Abbildung 1a) Das Gewicht b2 deuten

Schritt 0Die Aufgabe

Schritt 1Das Modell und seine Einheiten

Schritt 2b2 = 0,098 deuten

Mehrumsatz je Mitarbeiter

Abbildung 1a) Das Gewicht b2 deuten

Die Aufgabe

Das Modell und seine Einheiten

b2 = 0,098 deuten