Tennisstunden: Häufigkeiten, Median, Streuung

Die Aufgabe

Aufgabe 1: (22 Punkte)

14 Hobby-Tennisspieler wurden gefragt, wie viele Stunden sie pro Monat Tennis spielen. Die Antworten lauteten: 6, 3, 2, 2, 1, 7, 2, 4, 3, 5, 2, 5, 6, 7.

Bestimmen Sie die absolute und relative Häufigkeitsverteilung. (5 Punkte)
Bestimmen Sie die relative Summenhäufigkeitsverteilung. (3 Punkte)
Stellen Sie die relative Häufigkeitsverteilung graphisch dar. (2 Punkte)
Stellen Sie die empirische Verteilungsfunktion grafisch dar. (2 Punkte)
Bestimmen Sie den Median. (2 Punkte)
Bestimmen Sie die Standardabweichung. (4 Punkte)
Bestimmen Sie die Spannweite und den Interquartilsabstand. (4 Punkte)

Die Antworten mit ihrem Platz in der Liste:

Platz	1	2	3	4	5	6	7
Stunden	6	3	2	2	1	7	2
Platz	8	9	10	11	12	13	14
Stunden	4	3	5	2	5	6	7

Probeklausur, nur Teil 1 der Vorlesung. Zeit: 90 Minuten, Gesamtpunktzahl: 90. Hilfsmittel: Formelsammlung, nicht programmierbarer Taschenrechner.

a) Absolute und relative Häufigkeitsverteilung

wie oft kommt jede Stundenzahl vor? · 5 Punkte

Merkmal bestimmen und die Liste sortieren

a) · 5 Punkte. Verlangt ist eine Tabelle: alle sieben Stundenzahlen mit Anzahl und Anteil. Die Schritte 1 bis 3 bauen sie auf.

Begriff	in dieser Aufgabe
Merkmalsträger	ein Hobby-Tennisspieler
Merkmal	Stunden Tennis pro Monat
Ausprägungen	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Stunden
Art	quantitativ, sieben verschiedene Werte
Zahl der Werte $n$	14

Aufsteigend sortiert, mit Platz 1 bis 14:

Platz	1	2	3	4	5	6	7
Wert	1	2	2	2	2	3	3
Platz	8	9	10	11	12	13	14
Wert	4	5	5	6	6	7	7

Absolute Häufigkeiten: zählen

Stunden $x_i$	Plätze in der sortierten Liste	absolute Häufigkeit $n_i$
1	1	1
2	2 bis 5	4
3	6 und 7	2
4	8	1
5	9 und 10	2
6	11 und 12	2
7	13 und 14	2
Summe		14

Probe: Die Anzahlen ergeben zusammen n

\sum_{i=1}^{7} n_i = 1 + 4 + 2 + 1 + 2 + 2 + 2 = 14 = n \quad \checkmark

Relative Häufigkeiten: die Anteile

$n_i$ : absolute Häufigkeit (Anzahl), $n_i / n$ : als Bruch, $f_i$ : relative Häufigkeit (Anteil).

Stunden $x_i$	$n_i$	$n_i / n$	$f_i$
1	1	$\tfrac{1}{14}$	0,0714
2	4	$\tfrac{4}{14}$	0,2857
3	2	$\tfrac{2}{14}$	0,1429
4	1	$\tfrac{1}{14}$	0,0714
5	2	$\tfrac{2}{14}$	0,1429
6	2	$\tfrac{2}{14}$	0,1429
7	2	$\tfrac{2}{14}$	0,1429
Summe	14	$\tfrac{14}{14}$	1

Die Anteile sind auf vier Nachkommastellen gerundet.

Probe: Die Anteile ergeben zusammen 1

\tfrac{1 + 4 + 2 + 1 + 2 + 2 + 2}{14} = \tfrac{14}{14} = 1 \quad \checkmark

b) Relative Summenhäufigkeitsverteilung

wie viele spielen höchstens so viel? · 3 Punkte

Absolute Summenhäufigkeit: aufaddieren

b) · 3 Punkte. Verlangt ist die Tabelle der Anteile bis zu jedem Wert. Die Schritte 4 und 5 bauen sie auf.

Jede Zeile: vorige Summe plus Anzahl des neuen Werts

\begin{aligned} N_1 &= 1 \\ N_2 &= 1 + 4 = 5 \\ N_3 &= 5 + 2 = 7 \\ N_4 &= 7 + 1 = 8 \\ N_5 &= 8 + 2 = 10 \\ N_6 &= 10 + 2 = 12 \\ N_7 &= 12 + 2 = 14 = n \quad \checkmark \end{aligned}

Relative Summenhäufigkeit: der Anteil bis zu einem Wert

$N_i$ : absolute Summenhäufigkeit (Anzahl bis $x_i$ ), $F_i$ : relative Summenhäufigkeit (Anteil bis $x_i$ ).

Stunden $x_i$	$N_i$	$N_i / n$	$F_i$
1	1	$\tfrac{1}{14}$	0,0714
2	5	$\tfrac{5}{14}$	0,3571
3	7	$\tfrac{7}{14}$	0,5
4	8	$\tfrac{8}{14}$	0,5714
5	10	$\tfrac{10}{14}$	0,7143
6	12	$\tfrac{12}{14}$	0,8571
7	14	$\tfrac{14}{14}$	1

Die Anteile sind auf vier Nachkommastellen gerundet.

Relative Summenhäufigkeit am Beispiel 3 Stunden

F_3 = \frac{N_3}{n} = \frac{7}{14} = 0{,}5

c) Relative Häufigkeitsverteilung graphisch

Stabdiagramm · 2 Punkte

Welches Diagramm? Das Stabdiagramm

c) · 2 Punkte. Verlangt ist eine Zeichnung mit beschrifteten Achsen und sieben Stäben in der richtigen Höhe.

Merkmal	Darstellung
ohne echte Zahlen (z. B. Noten, Farben)	Säulendiagramm
quantitativ, diskret oder nur wenige ganze Werte (z. B. Kinderzahl)	Stabdiagramm
quantitativ, in Klassen eingeteilt	Säulen ohne Lücke oder Histogramm

Das Stabdiagramm zeichnen

Stab bei	Höhe $f_i$
1 Stunde	$\tfrac{1}{14}$ ≈ 0,0714
2 Stunden	$\tfrac{4}{14}$ ≈ 0,2857
3 Stunden	$\tfrac{2}{14}$ ≈ 0,1429
4 Stunden	$\tfrac{1}{14}$ ≈ 0,0714
5 Stunden	$\tfrac{2}{14}$ ≈ 0,1429
6 Stunden	$\tfrac{2}{14}$ ≈ 0,1429
7 Stunden	$\tfrac{2}{14}$ ≈ 0,1429

d) Empirische Verteilungsfunktion graphisch

die Treppe · 2 Punkte

F(x) für jede Zahl x

d) · 2 Punkte. Verlangt ist die Treppe über die ganze Achse, mit beschrifteten Achsen und den richtigen Höhen aus b).

Empirische Verteilungsfunktion: Anteil der Werte bis x

F(x) = \frac{\text{Anzahl der Werte} \le x}{n}

Drei Beispiele

F(0{,}5) = \frac{0}{14} = 0

F(4{,}5) = \frac{8}{14} = F(4) \approx 0{,}5714

F(9) = \frac{14}{14} = 1

Sprünge, Punkte und die ganze Treppe

Am Sprung bei 2 Stunden gilt der obere Wert

F(1{,}9) = \tfrac{1}{14} \approx 0{,}0714

F(2) = \tfrac{1 + 4}{14} = \tfrac{5}{14} \approx 0{,}3571

\text{Sprunghöhe: } \tfrac{5}{14} - \tfrac{1}{14} = \tfrac{4}{14} = f_2

Die ganze Treppe, Abschnitt für Abschnitt (gerundet auf vier Stellen)

F(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < 1 \\ 0{,}0714 & \text{für } 1 \le x < 2 \\ 0{,}3571 & \text{für } 2 \le x < 3 \\ 0{,}5 & \text{für } 3 \le x < 4 \\ 0{,}5714 & \text{für } 4 \le x < 5 \\ 0{,}7143 & \text{für } 5 \le x < 6 \\ 0{,}8571 & \text{für } 6 \le x < 7 \\ 1 & \text{für } x \ge 7 \end{cases}

e) Der Median

der Wert in der Mitte · 2 Punkte

Der Median bei gerader Anzahl

e) · 2 Punkte. Verlangt sind die Rechnung mit den beiden mittleren Plätzen und das Ergebnis mit Einheit.

Sortierte Liste, die beiden mittleren Plätze markiert:

Platz	1	2	3	4	5	6	7
Wert	1	2	2	2	2	3	3
Platz	8	9	10	11	12	13	14
Wert	4	5	5	6	6	7	7

p-Quantil für p = 0,5

n \cdot p = 14 \cdot 0{,}5 = 7 \ \text{(ganzzahlig)} \quad\Rightarrow\quad g = 7

Durchschnitt der Werte auf Platz g und g + 1

\tilde{x} = \tfrac{1}{2}\left(x_{[7]} + x_{[8]}\right) = \tfrac{1}{2}(3 + 4) = 3{,}5 \ \text{Stunden}

Dasselbe liefert die Zeile „Median bei gerader Anzahl“ der Formelsammlung: $\tfrac{1}{2}\left[x_{(n/2)} + x_{(n/2+1)}\right]$ mit $n/2 = 7$ . Runde und eckige Klammern meinen dort dasselbe: den Platz in der sortierten Liste.

f) Die Standardabweichung

wie weit die Stunden um den Durchschnitt streuen · 4 Punkte

Erst der Mittelwert

f) · 4 Punkte. Verlangt ist die Standardabweichung. Auf dem Weg dorthin stehen Mittelwert und Varianz; der ganze Rechenweg gehört aufs Blatt, das Ergebnis mit Einheit.

Stunden $x_i$	$n_i$	$x_i \cdot n_i$
1	1	1
2	4	8
3	2	6
4	1	4
5	2	10
6	2	12
7	2	14
Summe	14	55

Arithmetisches Mittel aus der Häufigkeitstabelle (Formelsammlung)

\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} x_i \cdot n_i

Eingesetzt, k = 7 verschiedene Werte

\bar{x} = \frac{1 + 8 + 6 + 4 + 10 + 12 + 14}{14}

= \frac{55}{14} = 3{,}9286\ldots \approx 3{,}93 \ \text{Stunden}

Die Varianz mit der schnellen Formel

Stunden $x_i$	$n_i$	$x_i^2$	$x_i^2 \cdot n_i$
1	1	1	1
2	4	4	16
3	2	9	18
4	1	16	16
5	2	25	50
6	2	36	72
7	2	49	98
Summe	14		271

Varianz aus der Häufigkeitstabelle: Definition (Formelsammlung)

s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k} \left(x_i - \bar{x}\right)^2 \cdot n_i

Dasselbe, schnelle Berechnung (Formelsammlung)

s^2 = \sum_{i=1}^{k} x_i^2 \cdot f_i - \bar{x}^2

= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k} x_i^2 \cdot n_i - \bar{x}^2

Eingesetzt

s^2 = \frac{271}{14} - \left(\frac{55}{14}\right)^2 = \frac{3794}{196} - \frac{3025}{196}

= \frac{769}{196} = 3{,}9235\ldots \approx 3{,}92 \ \text{Stunden}^2

Die Standardabweichung

Standardabweichung (Formelsammlung)

s = \sqrt{s^2}

Eingesetzt

s = \sqrt{\frac{769}{196}} = \frac{\sqrt{769}}{14} = \frac{27{,}7308\ldots}{14}

= 1{,}9808\ldots \approx 1{,}98 \ \text{Stunden}

Zur Anschauung: Mittelwert minus und plus s

3{,}9286 - 1{,}9808 \approx 1{,}95 \qquad 3{,}9286 + 1{,}9808 \approx 5{,}91

g) Spannweite und Interquartilsabstand

zwei Streuungsmaße aus der sortierten Liste · 4 Punkte

Die Spannweite

g) · 4 Punkte. Verlangt sind zwei Ergebnisse, Spannweite und Interquartilsabstand, je mit Rechnung und Einheit; für den Quartilsabstand auch die beiden Quartile.

Spannweite (Formelsammlung)

R = x_{max} - x_{min} = 7 - 1 = 6 \ \text{Stunden}

Unteres und oberes Quartil

Sortierte Liste, Platz 4 und Platz 11 markiert:

Platz	1	2	3	4	5	6	7
Wert	1	2	2	2	2	3	3
Platz	8	9	10	11	12	13	14
Wert	4	5	5	6	6	7	7

Unteres Quartil: p = 0,25

n \cdot p = 14 \cdot 0{,}25 = 3{,}5 \ \text{(nicht ganzzahlig)} \ \Rightarrow\ g = 3

\tilde{x}_{0{,}25} = x_{[3+1]} = x_{[4]} = 2 \ \text{Stunden}

Oberes Quartil: p = 0,75

n \cdot p = 14 \cdot 0{,}75 = 10{,}5 \ \text{(nicht ganzzahlig)} \ \Rightarrow\ g = 10

\tilde{x}_{0{,}75} = x_{[10+1]} = x_{[11]} = 6 \ \text{Stunden}

Der Interquartilsabstand

Interquartilsabstand (Formelsammlung)

Q = x_{75\%} - x_{25\%} = \tilde{x}_{0{,}75} - \tilde{x}_{0{,}25}

= 6 - 2 = 4 \ \text{Stunden}

Ergebnis

n_i

= 1, 4, 2, 1, 2, 2, 2 und

f_i

≈ 0,0714; 0,2857; 0,1429; 0,0714; 0,1429; 0,1429; 0,1429 für 1 bis 7 Stunden.

F_i

≈ 0,0714; 0,3571; 0,5; 0,5714; 0,7143; 0,8571; 1.

c) Stabdiagramm: sieben Stäbe, Höhe = Anteil, der höchste bei 2 Stunden.

d) Treppe

F(x)

: 0 unter 1 Stunde, Sprünge an jedem Wert (voller Punkt oben), 1 ab 7 Stunden.

e) Median

\tilde{x} = 3{,}5

Stunden.

\bar{x} = \tfrac{55}{14} \approx 3{,}93

s^2 = \tfrac{769}{196} \approx 3{,}92

, Standardabweichung

s \approx 1{,}98

Stunden.

g) Spannweite

R = 6

Stunden; Quartile 2 und 6, Interquartilsabstand

Q = 4

Stunden.

Plausibel: Summe der Anzahlen 14, Summe der Anteile 1, letzte Summenhäufigkeit 1. Unteres Quartil ≤ Median ≤ oberes Quartil (2 ≤ 3,5 ≤ 6). Mittelwert und Median liegen zwischen 1 und 7. Die Standardabweichung ist nie größer als die halbe Spannweite: 1,98 ≤ 3.

So holst du die Punkte: zwei Tabellen mit allen sieben Werten und den Proben; zwei Zeichnungen mit beschrifteten Achsen; bei e) bis g) die Formel, die eingesetzten Zahlen und jedes Ergebnis mit Einheit Stunden.

Stunden $x_i$	$n_i$	$f_i$	$N_i$	$F_i$
1	1	0,0714	1	0,0714
2	4	0,2857	5	0,3571
3	2	0,1429	7	0,5
4	1	0,0714	8	0,5714
5	2	0,1429	10	0,7143
6	2	0,1429	12	0,8571
7	2	0,1429	14	1
Summe	14	1

Schritt 0Die Aufgabe

a) Absolute und relative Häufigkeitsverteilung

Schritt 1Merkmal bestimmen und die Liste sortieren

Schritt 2Absolute Häufigkeiten: zählen

Schritt 3Relative Häufigkeiten: die Anteile

b) Relative Summenhäufigkeitsverteilung

Schritt 4Absolute Summenhäufigkeit: aufaddieren

Schritt 5Relative Summenhäufigkeit: der Anteil bis zu einem Wert

c) Relative Häufigkeitsverteilung graphisch

Schritt 6Welches Diagramm? Das Stabdiagramm

Schritt 7Das Stabdiagramm zeichnen

d) Empirische Verteilungsfunktion graphisch

Schritt 8F(x) für jede Zahl x

Schritt 9Sprünge, Punkte und die ganze Treppe

e) Der Median

Schritt 10Der Median bei gerader Anzahl

f) Die Standardabweichung

Schritt 11Erst der Mittelwert

Schritt 12Die Varianz mit der schnellen Formel

Schritt 13Die Standardabweichung

g) Spannweite und Interquartilsabstand

Schritt 14Die Spannweite

Schritt 15Unteres und oberes Quartil

Schritt 16Der Interquartilsabstand

Schritt 17Ergebnis

Die Aufgabe

Merkmal bestimmen und die Liste sortieren

Absolute Häufigkeiten: zählen

Relative Häufigkeiten: die Anteile

Absolute Summenhäufigkeit: aufaddieren

Relative Summenhäufigkeit: der Anteil bis zu einem Wert

Welches Diagramm? Das Stabdiagramm

Das Stabdiagramm zeichnen

F(x) für jede Zahl x

Sprünge, Punkte und die ganze Treppe

Der Median bei gerader Anzahl

Erst der Mittelwert

Die Varianz mit der schnellen Formel

Die Standardabweichung

Die Spannweite

Unteres und oberes Quartil

Der Interquartilsabstand

Ergebnis