Gegeben sind vier Eigenschaften, die man bei einer Reise beobachten kann. Für jede ist anzugeben, auf welcher Skala sie gemessen wird, mit einer kurzen Begründung. Zu rechnen gibt es nichts.
Eine Skala sagt, was man mit den gemessenen Werten anfangen darf: nur vergleichen, ob sie gleich sind, sie ordnen, Abstände bilden oder sogar teilen. Davon hängt später ab, welche Kennzahlen (etwa der Durchschnitt) und Grafiken erlaubt sind. Deshalb steht diese Frage ganz am Anfang der Statistik.
So gehen wir vor:
- Die Grundbegriffe klären: Merkmal, Merkmalsträger, Merkmalsausprägung.
- Die Skalen der Vorlesung kennenlernen, von der niedrigsten zur höchsten.
- Daraus einen Prüfweg mit vier Fragen bauen.
- Den Prüfweg auf a), b), c) und d) anwenden, jedes Merkmal für sich.
Klausur: „Begründen Sie kurz“ heißt: je Merkmal die Skala nennen und einen Satz, welche Eigenschaft das entscheidet. Die Punkte gibt es für die Begründung, nicht nur für den Namen der Skala.
Bevor man über Skalen spricht, braucht man drei Wörter. Sie kommen in jeder Statistik-Aufgabe vor.
- Der Merkmalsträger (auch: statistische Einheit) ist das, woran man etwas beobachtet: eine Person, ein Flugzeug, ein Flug.
- Das Merkmal ist die Eigenschaft, die man an ihm untersucht: zum Beispiel die Geschwindigkeit des Flugzeugs.
- Eine Merkmalsausprägung ist ein Wert, den das Merkmal annehmen kann: zum Beispiel 850 km/h (Kilometer pro Stunde).
Die Tabelle rechts ordnet die vier Merkmale der Aufgabe so ein. Die Ausprägungen sind Beispiele; die Aufgabe nennt keine. Schon hier sieht man: Bei a) und b) sind die Ausprägungen Wörter, bei c) und d) Zahlen.
Merke: Die Skala gehört zum Merkmal. Man fragt also: Was für Werte kann dieses Merkmal annehmen, und was darf man mit ihnen tun?
Eine Skala (auch Skalentyp oder Skalenniveau) beschreibt, welche Vergleiche zwischen den Ausprägungen eines Merkmals sinnvoll sind. Die Vorlesung kennt drei Skalentypen: Nominal-, Ordinal- und Kardinalskala. Die Kardinalskala teilt sie noch in Intervall- und Verhältnisskala. So entstehen vier Stufen. Sie bauen aufeinander auf wie die Stufen einer Leiter.
Jede höhere Stufe kann alles, was die Stufe darunter kann, und eine Eigenschaft mehr. Im Bild steht diese neue Eigenschaft jeweils im grauen Kasten.
| Stufe | Skala | neu dazu |
|---|
| 1 | Nominalskala | gleich oder verschieden |
| 2 | Ordinalskala | Rangfolge |
| 3 | Intervallskala | Abstand |
| 4 | Verhältnisskala | Nullpunkt |
Zählen, wie oft jede Ausprägung vorkommt (die Häufigkeit), geht auf jeder Stufe.
Nominalskala (Stufe 1, das niedrigste Skalenniveau): Man kann nur sagen, ob zwei Ausprägungen gleich oder verschieden sind. Es gibt keine natürliche Reihenfolge, also keine, die sich aus der Sache selbst ergibt. Rechnen kann man mit den Werten nicht. Beispiele aus dem Skript: Geschlecht, Familienstand, Beruf.
Ordinalskala (Stufe 2): Alles von Stufe 1 gilt. Dazu kommt eine natürliche Rangfolge: Die Ausprägungen sind abgestuft, eine ist „mehr“ als die andere. Wie groß der Unterschied ist, kann man aber nicht sagen. Beispiele aus dem Skript: Schulnoten, Uni-Rankings.
Merke: Schulnoten sind Zahlen und trotzdem ordinal. Die Zahl ist nur ein Code für „sehr gut“, „gut“, …. Der Schritt von 1 auf 2 muss nicht gleich groß sein wie der von 4 auf 5.
Auf diesen beiden Stufen sind die Ausprägungen Eigenschaften, keine Messwerte. Das Skript nennt solche Merkmale qualitativ.
Kardinalskala: Die Ausprägungen sind echte Zahlen, meist mit einer Einheit. Man kann sie ordnen und ihre Abstände ausrechnen, und der Abstand bedeutet etwas. Das Skript nennt solche Merkmale quantitativ oder metrisch. Beispiele: Alter, Gewicht, Körpergröße.
Die Kardinalskala hat zwei Stufen. Sie unterscheiden sich nur im Nullpunkt.
- Intervallskala (Stufe 3): Abstände sind sinnvoll, aber die Null ist willkürlich gesetzt. Beispiel Temperatur in °C: 0 °C ist willkürlich auf den Gefrierpunkt von Wasser gelegt; es heißt nicht „keine Temperatur“. Deshalb ist 20 °C nicht „doppelt so warm“ wie 10 °C. Darum gibt es auch Werte unter null, etwa −10 °C.
- Verhältnisskala (Stufe 4): Es gibt einen natürlichen Nullpunkt. Null heißt „nichts davon“, nicht eine willkürlich gewählte Marke. Dann darf man Werte teilen und sagen „doppelt so viel“. Beispiel Gewicht: 0 kg heißt kein Gewicht, 10 kg ist doppelt so schwer wie 5 kg.
Merke: Der Test für die Verhältnisskala ist der Satz „doppelt so viel“. Ist er sinnvoll, gibt es einen natürlichen Nullpunkt.
Aus den vier Stufen wird ein Prüfweg. Man beginnt unten und stellt die Fragen der Reihe nach. Bei jedem Ja steigt man eine Stufe höher. Beim ersten Nein bleibt man stehen: Das ist die Skala.
| Frage | bei Nein |
|---|
| 1. Kann ich sagen, ob zwei Werte gleich oder verschieden sind? | – |
| 2. Gibt es eine natürliche Rangfolge? | Nominalskala |
| 3. Hat der Abstand zwischen zwei Werten eine Bedeutung? | Ordinalskala |
| 4. Gibt es einen natürlichen Nullpunkt („doppelt so viel“ ist sinnvoll)? | Intervallskala |
| Alle vier Ja | Verhältnisskala |
Frage 1 ist immer Ja: Unterscheiden kann man die Werte jedes Merkmals. Darum ist jedes Merkmal mindestens nominal. Die eigentliche Arbeit liegt bei Frage 2 bis 4.
a) Nominalskala
Die Ausprägungen sind Ortsnamen: Mallorca, Rom, Paris. Wir gehen die Fragen durch.
- Frage 1: Ja. Zwei Reisende waren am gleichen Ort oder an verschiedenen.
- Frage 2: Nein. Kein Ort ist „mehr“ oder „besser“ als ein anderer. Man könnte die Orte alphabetisch sortieren, aber diese Reihenfolge kommt vom Namen, nicht vom Ort selbst. Das ist keine natürliche Rangfolge.
Beim ersten Nein bleibt man stehen. Also: Nominalskala. Sinnvoll ist nur zählen, wie viele Reisende an jedem Ort waren.
b) Ordinalskala
Die Ausprägungen sind Stufen wie „sehr zufrieden“, „zufrieden“, „unzufrieden“, „sehr unzufrieden“.
- Frage 1: Ja.
- Frage 2: Ja. „Sehr zufrieden“ ist mehr Zufriedenheit als „zufrieden“. Die Stufen lassen sich der Größe nach ordnen.
- Frage 3: Nein. Ist der Schritt von „sehr zufrieden“ zu „zufrieden“ genauso groß wie der von „zufrieden“ zu „unzufrieden“? Das lässt sich nicht messen. Ein Abstand hat hier keine Bedeutung.
Erstes Nein bei Frage 3. Also: Ordinalskala.
Vorsicht: Auch wenn der Fragebogen Noten von 1 bis 5 vergibt, bleibt die Zufriedenheit ordinal. Die Zahlen sind nur ein Code für die Stufen, wie bei den Schulnoten.
c) Kardinalskala, genauer Verhältnisskala
Die Ausprägungen sind Zahlen mit Einheit, etwa 600 km/h oder 900 km/h (km/h: Kilometer pro Stunde).
- Frage 1 und 2: Ja. 900 km/h ist schneller als 600 km/h.
- Frage 3: Ja. Der Abstand 900 − 600 = 300 km/h bedeutet etwas: so viel schneller fliegt das eine Flugzeug. Also Kardinalskala.
- Frage 4: Ja. 0 km/h heißt: Das Flugzeug bewegt sich nicht. 0 km/h bedeutet „keine Geschwindigkeit“, keine willkürlich gewählte Marke. Das ist ein natürlicher Nullpunkt. Darum darf man teilen: 900 km/h ist das 1,5-Fache von 600 km/h.
Alle vier Fragen Ja. Also: Kardinalskala, genauer Verhältnisskala.
d) Kardinalskala, genauer Verhältnisskala
Merkmalsträger ist ein Flug. Die Ausprägungen sind Anzahlen: 0, 1, 2, 3, … Passagiere mit Flugangst.
- Frage 1 und 2: Ja. 6 Passagiere sind mehr als 3.
- Frage 3: Ja. 6 − 3 = 3 heißt: drei Passagiere mit Flugangst mehr. Der Abstand bedeutet etwas.
- Frage 4: Ja. 0 heißt: Kein Passagier hat Flugangst. Das ist ein natürlicher Nullpunkt. Darum darf man teilen: 6 sind doppelt so viele wie 3.
Alle vier Fragen Ja. Also: Kardinalskala, genauer Verhältnisskala.
Vorsicht: Hier gibt es nur ganze Zahlen; 2,5 Passagiere gibt es nicht. Das ändert die Skala nicht. Ob ein Merkmal nur ganze Werte hat, ist eine andere Frage (diskret oder stetig) und kommt in Aufgabe 2 dran.
Zwei Merkmale haben Wörter als Ausprägungen: a) ohne Reihenfolge, b) mit Reihenfolge. Zwei Merkmale haben Zahlen mit echtem Nullpunkt: c) und d).
Probe: Für jedes Merkmal den Satz der nächsthöheren Stufe testen. „Rom ist mehr als Paris“ ergibt keinen Sinn, also bleibt a) nominal. „Sehr zufrieden ist doppelt so zufrieden wie zufrieden“ ergibt keinen Sinn, also bleibt b) ordinal. Für c) und d) ist „doppelt so viel“ sinnvoll; höher als die Verhältnisskala geht es nicht.
Typische Fehler:
- Zahlen als Code (Noten 1 bis 5) für kardinal halten. Sie bleiben ordinal.
- Anzahlen für ordinal halten, weil sie nur ganze Zahlen sind. Sie sind kardinal.
- Nur „metrisch“ schreiben, ohne den Nullpunkt zu prüfen.
- Die Skala nennen, aber nicht begründen. Die Aufgabe verlangt beides.
Ergänzung: Manche Bücher nennen Anzahlen wie bei d) „Absolutskala“. Diese Vorlesung kennt den Begriff nicht; hier heißt die Antwort Verhältnisskala.