Gegeben sind vier Eigenschaften: die Position in einem Unternehmen, eine Leistungsbeurteilung, die Zahl der Kinder und die Temperatur. Gerechnet wird nichts. Gesucht ist für jede Eigenschaft eine Einordnung aus zwei Wörtern.
- Das erste Wort ist qualitativ oder quantitativ.
- Das zweite Wort hängt vom ersten ab: bei qualitativ nominal oder ordinal, bei quantitativ diskret oder stetig.
Warum das wichtig ist: Die Einordnung entscheidet später, welche Tabellen, Diagramme und Mittelwerte erlaubt sind. Wer hier falsch sortiert, rechnet später etwas Sinnloses.
So gehen wir vor:
- Klären, was ein Merkmal und seine Ausprägungen sind.
- Frage 1: qualitativ oder quantitativ?
- Frage 2 im Ast qualitativ: nominal oder ordinal?
- Frage 2 im Ast quantitativ: diskret oder stetig?
- Die vier Merkmale a) bis d) durch den Baum schicken.
Merke: Erst Frage 1, dann Frage 2. Die zweite Frage hängt davon ab, in welchem Ast man nach der ersten steht.
Merkmal = Eigenschaft, Ausprägung = möglicher Wert
Zuerst drei Wörter, die in jeder Statistik-Aufgabe vorkommen. Ohne sie lässt sich die Aufgabe nicht lesen.
- Ein Merkmalsträger ist das, was untersucht wird: eine Person, eine Familie, ein Tag. Das Skript nennt ihn auch statistische Einheit.
- Ein Merkmal ist eine Eigenschaft des Merkmalsträgers, die uns interessiert. Beispiel: die Zahl der Kinder einer Familie.
- Eine Ausprägung (auch Merkmalsausprägung) ist ein Wert, den das Merkmal annehmen kann. Bei der Kinderzahl sind das 0, 1, 2, 3 und so weiter.
Die Art eines Merkmals erkennt man an seinen Ausprägungen. Deshalb schreibt man für jedes Merkmal zuerst ein paar mögliche Ausprägungen auf. Das zeigt die Tabelle im Lösungsweg.
Merke: Immer zuerst fragen: Welche Werte kann das Merkmal annehmen? Die Antwort auf jede weitere Frage steckt in diesen Werten.
gezählt oder gemessen? ja: quantitativ, nein: qualitativ
Die erste Frage teilt alle Merkmale in zwei Gruppen.
- Qualitativ heißt artmäßig: Die Ausprägungen sind Arten oder Kategorien, meist Wörter. Beispiel: Familienstand (ledig, verheiratet, geschieden).
- Quantitativ heißt zahlenmäßig: Die Ausprägungen sind Zahlen, die durch Zählen oder Messen entstehen. Beispiel: Körpergröße in cm.
Der Test dafür: Ist der Abstand zwischen zwei Ausprägungen eine sinnvolle Zahl? 180 cm minus 170 cm sind 10 cm, das ergibt Sinn. „Verheiratet minus ledig“ ergibt keinen Sinn.
Vorsicht: Eine Zahl als Name macht ein Merkmal noch nicht quantitativ. Schulnoten 1 bis 6 sind nur Abkürzungen für „sehr gut“ bis „ungenügend“. Das Skript nennt das eine Verschlüsselung.
natürliche Rangfolge? ja: ordinal, nein: nominal
Steht ein Merkmal im qualitativen Ast, fragt man weiter nach seiner Skala. Eine Skala legt fest, was man mit den Ausprägungen sinnvoll tun kann: nur vergleichen oder auch ordnen.
Aus Aufgabe 1 („Skalenniveaus: Urlaubsort bis Flugangst“): Nominal heißt: Ausprägungen lassen sich nur als gleich oder verschieden erkennen. Ordinal heißt: Sie lassen sich zusätzlich in eine natürliche Reihenfolge bringen.
- Nominal: Es gibt keine natürliche Reihenfolge. Beispiele aus dem Skript: Geschlecht, Familienstand, Beruf. Ob „ledig“ vor „verheiratet“ steht, ist Geschmackssache.
- Ordinal: Es gibt eine natürliche Rang- oder Reihenfolge. Beispiele aus dem Skript: Schulnoten, Uni-Rankings. Man weiß, was besser ist, aber nicht, um wie viel.
Der Test: Kann man die Ausprägungen so sortieren, dass jeder dieselbe Reihenfolge wählen würde? Ja heißt ordinal, nein heißt nominal.
Werte durchzählbar? ja: diskret, nein: stetig
Steht ein Merkmal im quantitativen Ast, fragt man: Wie dicht liegen die möglichen Werte?
- Diskret: endlich viele oder abzählbar viele Ausprägungen. Abzählbar heißt: Man kann die möglichen Werte der Reihe nach durchnummerieren, zum Beispiel 0, 1, 2, 3, … Zwischen zwei Nachbarn liegt kein weiterer Wert. Beispiel aus dem Skript: die Augenzahl beim Würfeln.
- Stetig: Das Merkmal kann jeden Wert in einem Intervall annehmen. Ein Intervall ist ein lückenloser Bereich, etwa alle Zahlen zwischen 170 und 180. Die möglichen Werte füllen den Bereich lückenlos aus, ohne Sprünge. Solche Werte kann man nicht der Reihe nach durchnummerieren; man nennt das überabzählbar. Beispiele aus dem Skript: Körpergröße, Gewicht, Alter.
Als Faustregel: Zählen führt zu diskret, Messen führt zu stetig.
Aus Aufgabe 1 („Skalenniveaus: Urlaubsort bis Flugangst“): Qualitative Merkmale liegen auf der Nominal- oder Ordinalskala, quantitative auf der Kardinalskala. Bei quantitativen Merkmalen fragt diese Aufgabe nicht nach der Skala, sondern nach diskret oder stetig.
Ergänzung: Es gibt noch einen Sonderfall, quasi-stetig. Die Werte sind zwar abzählbar, liegen aber so fein beieinander, dass man sie wie stetig behandelt. Beispiel: ein Einkommen in Euro und Cent. In dieser Aufgabe ist nur diskret oder stetig gefragt.
a) qualitativ, ordinal
Mögliche Ausprägungen sind etwa Sachbearbeiter, Abteilungsleiter, Geschäftsführer.
Frage 1: Das sind Wörter, keine gezählten oder gemessenen Zahlen. „Geschäftsführer minus Sachbearbeiter“ ergibt keine Zahl. Also qualitativ.
Frage 2: Die Stellen bilden eine Hierarchie: Sachbearbeiter < Abteilungsleiter < Geschäftsführer. Diese Reihenfolge ist natürlich, jeder würde sie gleich wählen. Also ordinal.
Im Lösungsweg steht das als Tabelle: eine Zeile je Frage. Die grün markierte Zeile ist die Antwort auf die Aufgabe, das zweite Wort der Einordnung.
Annahme: „Stellung“ meint hier den Rang in der Hierarchie. Wäre nur die Abteilung gemeint (Einkauf, Vertrieb, Personal), gäbe es keine Rangfolge. Dann wäre das Merkmal nominal.
b) qualitativ, ordinal
Eine Leistungsbeurteilung vergibt Stufen, etwa sehr gut, gut, befriedigend, ausreichend, mangelhaft.
Frage 1: Das sind Stufen in Worten. Auch wenn man sie als Noten 1 bis 5 schreibt, sind die Zahlen nur eine Verschlüsselung. Der Abstand von „gut“ zu „sehr gut“ ist keine messbare Größe. Also qualitativ.
Frage 2: „Sehr gut“ ist besser als „gut“, „gut“ besser als „befriedigend“. Es gibt also eine natürliche Rangfolge. Also ordinal. Das Skript nennt Schulnoten ausdrücklich als ordinales Beispiel.
Ergänzung: Wird die Leistung in Punkten bewertet, etwa 0 bis 100 Punkte, wird sie oft als quantitativ behandelt. Die Aufgabe nennt keine Punkte. Gemeint sind Stufen, also ordinal.
c) quantitativ, diskret
Die Kinderzahl einer Familie ist 0, 1, 2, 3 und so weiter.
Frage 1: Diese Zahlen entstehen durch Zählen. Abstände ergeben Sinn: 3 Kinder sind 2 Kinder mehr als 1 Kind. Also quantitativ.
Frage 2: Die Werte lassen sich durchzählen: 0, 1, 2, 3, … Zwischen 1 und 2 gibt es keine Familie mit 1,5 Kindern. Also diskret.
Vorsicht: „Im Schnitt 1,5 Kinder“ ist ein Durchschnitt über viele Familien. Es ist keine Ausprägung, die eine einzelne Familie haben kann. Das Merkmal bleibt diskret.
d) quantitativ, stetig
Die Temperatur wird gemessen, zum Beispiel 18,5 °C oder 21,37 °C.
Frage 1: Die Ausprägungen sind Messwerte. Abstände ergeben Sinn: 21 °C sind 3 Grad wärmer als 18 °C. Also quantitativ.
Frage 2: Zwischen 18 °C und 19 °C liegt jeder Wert: 18,5 °C, 18,51 °C, 18,512 °C und so weiter. Man kann die möglichen Werte nicht durchzählen. Also stetig. Das Skript nennt die Temperatur ausdrücklich als stetiges Beispiel.
Vorsicht: Ein Thermometer zeigt oft nur eine Nachkommastelle. Das liegt am Messgerät, nicht am Merkmal. Die Temperatur selbst kann jeden Wert annehmen und bleibt stetig.
Zwei Merkmale sind qualitativ und ordinal: Position und Leistungsbeurteilung. Ihre Werte sind Stufen in Worten, die eine Rangfolge haben. Zwei Merkmale sind quantitativ: die Kinderzahl wird gezählt und ist diskret, die Temperatur wird gemessen und ist stetig.
Probe: Jedes Merkmal hat genau ein Wort aus jeder Frage. Kein qualitatives Merkmal hat „diskret“ oder „stetig“ bekommen, kein quantitatives „nominal“ oder „ordinal“. Das passt zur Aufgabe, die genau diese Paare verlangt.
In der Klausur: Zu jedem Merkmal beide Wörter und einen kurzen Grund schreiben. Zum Beispiel: „Kinderzahl: quantitativ, diskret, weil man Kinder zählt (0, 1, 2, …).“
Der Weg: 1. Mögliche Ausprägungen aufschreiben. 2. Frage 1: Zahlen aus Zählen oder Messen? 3. Frage 2: Rangfolge (qualitativ) oder durchzählbar (quantitativ)?