16 Studierende haben dieselbe Prüfung geschrieben. Von jeder Person kennen wir die Note, in der Reihenfolge, in der sie notiert wurden. Diese Liste ist schwer zu lesen. Die Aufgabe verlangt, sie in eine übersichtliche Form zu bringen.
Gefragt sind vier Dinge, zwei Tabellen und zwei Zeichnungen:
- a) Häufigkeitsverteilung: Wie oft kommt jede Note vor? Als Anzahl und als Anteil.
- b) Summenhäufigkeitsverteilung: Wie viele haben eine Note bis zu einer bestimmten Note, also diese Note oder eine bessere?
- c) Die Tabelle aus a) als Diagramm: ein Säulendiagramm.
- d) Die Tabelle aus b) als Diagramm: eine Treppenfunktion.
Alles wird von Hand gerechnet und gezeichnet, so wie in der Klausur. Man braucht nur Zählen, Addieren und Teilen durch 16.
Merke: Erst zählen, dann teilen, dann aufaddieren. Jede spätere Zahl entsteht aus den Anzahlen der Strichliste.
Bevor man zählt, muss klar sein, wer untersucht wird und was man an ihm misst. Die Statistik hat dafür feste Wörter:
- Der Merkmalsträger ist das, woran man etwas beobachtet. Hier: ein Studierender.
- Das Merkmal ist die Eigenschaft, die interessiert. Hier: die Note in der Prüfung.
- Eine Ausprägung (im Skript: Merkmalsausprägung) ist ein Wert, den das Merkmal annehmen kann. Hier: die Noten 1, 2, 3, 4, 5 und 6.
Die Liste so, wie sie erhoben wurde, heißt Urliste. Ihre Länge ist die Zahl der Merkmalsträger. Sie bekommt das Zeichen n. Hier ist n=16.
Aus Aufgabe 1 („Skalenniveaus: Urlaubsort bis Flugangst“): Ein Merkmal auf der Ordinalskala hat eine Rangfolge, aber die Abstände zwischen den Werten sind nicht messbar. Das Skript nennt Schulnoten als Beispiel: 1 ist besser als 2, aber „um wie viel“ lässt sich nicht sagen.
Die Rangfolge brauchen wir ab Teil b): Nur weil die Noten eine Reihenfolge haben, darf man „Note 3 oder besser“ zählen.
Jetzt wird gezählt. Die absolute Häufigkeit einer Note ist die Anzahl der Studierenden, die genau diese Note haben. Man schreibt sie ni. Der kleine Index i sagt, welche Note gemeint ist: n2 ist die Anzahl der Zweien.
Am sichersten zählt man mit einer Strichliste. Man geht die Urliste einmal von vorn nach hinten durch. Für jeden Wert macht man einen Strich bei seiner Note. Den fünften Strich setzt man quer über die ersten vier. So sieht man Fünferbündel auf einen Blick.
Die Note 2 steht auf den Plätzen 3, 4, 11, 14 und 16. Das sind fünf Striche, also ein volles Bündel: ||||.
n1,…,n6=2, 5, 3, 2, 3, 1 Für die anderen Noten geht man genauso vor. In der Klausur macht man das in einem einzigen Durchgang: Man liest jeden Wert genau einmal und setzt seinen Strich. Dann fällt kein Wert aus Versehen weg. Die Spalte „Plätze“ zeigt, wo jede Note in der Urliste steht. So lässt sich jeder Strich nachprüfen.
Die Noten stehen in der Tabelle nach ihrer Rangfolge, von 1 bis 6. Das ist bei einem ordinalen Merkmal die richtige Ordnung. Die Zahl der Striche ist die absolute Häufigkeit ni.
In der Tabelle steht xi für die i-te Ausprägung, also die i-te Note. Hier ist das bequem: x1=1, x2=2 und so weiter bis x6=6.
| Note | Striche | ni |
|---|
| 1 | || | 2 |
| 2 | |||| | 5 |
| 3 | ||| | 3 |
| 4 | || | 2 |
| 5 | ||| | 3 |
| 6 | | | 1 |
∑ni=16 Jeder der 16 Studierenden hat genau eine Note. Also muss jeder genau einmal gezählt sein. Die Anzahlen zusammen ergeben deshalb wieder n=16.
Das Zeichen ∑ (Summenzeichen, ein großes griechisches S) heißt: alle Werte dahinter addieren. ∑i=16ni liest man „Summe der ni für i von 1 bis 6“.
Kommt nicht 16 heraus, hat man einen Wert vergessen oder doppelt gezählt. Diese Probe kostet in der Klausur zehn Sekunden und rettet die ganze Aufgabe: Alle weiteren Teile bauen auf den Anzahlen auf.
f2=165=0,3125 Eine Anzahl allein sagt wenig: 5 Zweien sind bei 16 Studierenden viel, bei 300 wenig. Darum gibt man auch den Anteil an. Er heißt relative Häufigkeit fi: die Anzahl geteilt durch die Zahl aller Werte.
Das Skript und die Formelsammlung führen beide Größen, ni und fi. Eine Häufigkeitsverteilung ist dort die Tabelle der Ausprägungen mit ihren absoluten oder relativen Häufigkeiten. Wer beide Spalten angibt, ist auf der sicheren Seite.
Für Note 2: 5 von 16 Studierenden. Das ist 5:16=0,3125, also 31,25 %.
Für jede Note dieselbe Rechnung: ni durch 16. Ein einzelner Studierender ist 1:16=0,0625. Jeder Anteil ist ein Vielfaches davon, z. B. 3⋅0,0625=0,1875. Darum ist nichts gerundet.
Probe: Alle Anteile zusammen müssen 1 ergeben, also 100 %. Das folgt aus der Probe vorher: 16:16=1.
Merke: Die
Häufigkeitsverteilung ist die Tabelle aller Ausprägungen, nach Rang geordnet, mit ihrer absoluten Häufigkeit
ni und ihrer relativen Häufigkeit
fi=ni/n. Das ist die Antwort auf a).
N3=2+5+3=10 Jetzt eine neue Frage: Wie viele Studierende haben Note 3 oder besser? Dazu addiert man die Anzahlen der Noten 1, 2 und 3. Das Ergebnis heißt absolute Summenhäufigkeit und bekommt ein großes N. Ein anderes Wort dafür ist kumulierte Häufigkeit; kumulieren heißt anhäufen.
In der Formel ist i die Note, bis zu der gezählt wird. Der Zählindex m läuft von 1 bis i und sammelt dabei n1, n2, … bis ni ein.
Das geht nur, weil die Noten eine Rangfolge haben. „Bis Note 3“ heißt: alle, die in der Rangfolge nicht hinter der 3 liegen. Bei einem Merkmal ohne Rangfolge, etwa der Lieblingsfarbe, ergäbe „bis Grün“ keinen Sinn.
Das Bild zeigt die Summenhäufigkeiten als Treppe: Jede Stufe beginnt bei einer Note und ist so hoch wie die Summe bis zu dieser Note. Die Stufe ab Note 3 liegt auf der Höhe 10 der rechten Achse. Wie man die Treppe zeichnet, kommt in Teil d).
N6=16=n Man muss nicht jedes Mal von vorn addieren. Jede Summenhäufigkeit ist die vorige plus die Anzahl der neuen Note: Ni=Ni−1+ni. Das spart in der Klausur Zeit und Fehler.
Probe: Bei der schlechtesten Note 6 sind alle gezählt. N6 muss also n=16 sein. Das stimmt.
| Note | ni | Ni |
|---|
| 1 | 2 | 2 |
| 2 | 5 | 7 |
| 3 | 3 | 10 |
| 4 | 2 | 12 |
| 5 | 3 | 15 |
| 6 | 1 | 16 |
F3=1610=0,625 Wie in Teil a) gibt man neben der Anzahl auch den Anteil an. Die relative Summenhäufigkeit Fi ist die absolute Summenhäufigkeit geteilt durch n. Für Note 3: 10 von 16 Studierenden haben Note 3 oder besser, das sind 62,5 %.
Zur Kontrolle geht es auch über die Anteile aus a): Man addiert f1+f2+f3 und erhält dieselbe Zahl.
Für jede Note Ni durch 16. Die Werte wachsen von Zeile zu Zeile und enden bei 1: Bis Note 6 sind alle 16 Studierenden erfasst.
So liest man eine Zeile: „N4=12, F4=0,75“ heißt, 12 Studierende, also 75 %, haben Note 4 oder besser. In der Klausur zählt so ein Satz als Interpretation.
Merke: Die
Summenhäufigkeitsverteilung ist die Tabelle der Noten mit
Ni (Anzahl bis zu dieser Note) und
Fi (Anteil bis zu dieser Note). Die letzte Zeile ist immer
n bzw. 1. Das ist die Antwort auf b).
Das Skript ordnet jeder Skala eine Darstellung zu. Ordinale Merkmale, und dazu zählt es Schulnoten, zeichnet man im Säulendiagramm. Über jeder Ausprägung steht eine Säule. Ihre Höhe ist die Häufigkeit (höhenproportional). Liegen die Säulen waagerecht, heißt es Balkendiagramm.
Drei Regeln aus dem Skript:
- Die Noten stehen nach Rang auf der waagerechten Achse: 1, 2, …, 6.
- Zwischen den Säulen bleibt eine Lücke. Es gibt keine Werte „zwischen“ zwei Noten.
- Gleiche Abstände der Säulen heißen nicht, dass die Noten gleich weit auseinander liegen. Das kann eine Ordinalskala nicht ausdrücken.
Aus Aufgabe 2 („Merkmalsarten: qualitativ oder quantitativ?“): Noten sind ein qualitatives, ordinales Merkmal: Die Ziffern 1 bis 6 sind nur verschlüsselte Urteile („sehr gut“ bis „ungenügend“). „Noten sind Zahlen, also quantitativ“ ist dort ein typischer Fehler. Diskret ist dagegen eine Art von quantitativ: ein Merkmal, das echte Zahlen mit einzelnen, abzählbaren Werten annimmt, etwa die Kinderzahl.
Für solche diskreten Zählgrößen nennt das Skript das Stabdiagramm: dünne Striche statt breiter Säulen. Ein Stabdiagramm der Noten hätte dieselben Höhen. Es gehört aber zu Zählgrößen wie der Kinderzahl, nicht zu Noten. Für die Noten ist das Säulendiagramm die passende Darstellung.
Im Panel steht als Beispiel der Anteil bis Note 2: F2=0,4375, also 7 von 16 mit Note 2 oder besser.
So entsteht das Diagramm in der Klausur auf Karopapier:
- Waagerechte Achse: die Noten 1 bis 6 in gleichen Abständen, Beschriftung „Note“.
- Senkrechte Achse links: die Anzahl ni von 0 bis 6, Beschriftung „absolute Häufigkeit“. Die höchste Säule hat 5.
- Über jeder Note eine Säule, so hoch wie ihre Anzahl. Lücke dazwischen lassen.
Für die relativen Häufigkeiten braucht man kein zweites Bild. Jede Säule ist fi=ni/16 und damit genau ein Sechzehntel ihrer Anzahl. Eine zweite Achse rechts mit den Anteilen genügt. Die Form des Diagramms bleibt gleich.
Gestrichelt im Bild: Die Säule über Note 2 reicht links bis 5 und rechts bis 0,3125. Es ist die höchste Säule. Die Note 2 kommt am häufigsten vor. Das Panel zeigt weiter den Anteil bis Note 2 aus Teil b): F2=0,4375.
F(x)=0 fu¨r x<1 Die relativen Summenhäufigkeiten zeichnet man als Funktion. Sie heißt empirische Verteilungsfunktion F(x). „Empirisch“ heißt: aus beobachteten Daten, hier den 16 Noten.
F(x) ist der Anteil der Werte, die kleiner oder gleich x sind. Wichtig: x darf jede Zahl auf der Achse sein, nicht nur eine Note. Deshalb muss die Zeichnung über die ganze Achse gehen, auch links von 1 und rechts von 6.
Links von Note 1, zum Beispiel bei x=0,5: Keine Note ist so klein. Der Anteil ist 0. Die Treppe beginnt dort auf der waagerechten Achse.
F(2,5)=0,4375 Was ist F(2,5)? Gezählt werden alle Noten, die höchstens 2,5 sind: die Einsen und die Zweien. Das sind 2+5=7 von 16, also dieselbe Zahl wie bei x=2.
Zwischen 2 und 3 kommt keine neue Note hinzu, denn es gibt keine Note 2,5. Darum bleibt F von 2 bis kurz vor 3 auf derselben Höhe. Im Bild ist das ein waagerechtes Stück. So entsteht die Form einer Treppe.
F(2)=0,4375 An jeder Note springt F nach oben. Die Sprunghöhe ist der Anteil dieser Note, also fi. An Note 2 springt die Treppe von 0,125 auf 0,4375, also um f2=0,3125. Die Höhe einer Säule aus c) ist die Höhe des Sprungs in d).
Die gestrichelte senkrechte Linie im Bild zeigt nur, wie hoch der Sprung ist. Sie gehört nicht zur Funktion: An der Stelle 2 hat F genau einen Wert, nicht alle Werte dazwischen. Darum darf man sie gestrichelt zeichnen, aber nie durchgezogen.
Welcher Wert gilt genau an der Stelle 2? F(2) zählt alle Noten kleiner oder gleich 2, die Zweien also mit. Darum gilt der obere Wert 0,4375. In der Zeichnung:
- voller Punkt am Anfang der oberen Stufe: Dieser Wert gilt an der Stelle.
- leerer Punkt am Ende der unteren Stufe: Dieser Wert gilt dort nicht mehr.
F(x)=1 fu¨r x≥6 Ab Note 6 sind alle 16 Werte gezählt. Für jedes x≥6 gilt also F(x)=1, auch bei x=10. Die oberste Stufe läuft nach rechts weiter.
So zeichnet man die Treppe in der Klausur:
- Waagerechte Achse: Note x, etwas Platz links von 1 und rechts von 6.
- Senkrechte Achse: F(x) von 0 bis 1, Beschriftung „relative Summenhäufigkeit“.
- Links von 1 eine Linie auf Höhe 0.
- Von jeder Note bis zur nächsten eine waagerechte Linie auf Höhe Fi.
- Voller Punkt links an jeder Stufe, leerer Punkt rechts am Ende der Stufe davor.
- Ab 6 eine Linie auf Höhe 1 nach rechts.
Senkrechte Verbindungen an den Sprüngen höchstens gestrichelt zeichnen: Sie zeigen nur die Sprunghöhe und gehören nicht zur Funktion. Die Stufen werden auch nicht schräg verbunden. Eine schräge Linie würde behaupten, es gäbe Noten zwischen 2 und 3.
In Worten: Die häufigste Note ist die 2 (5 von 16, also 31,25 %). Knapp die Hälfte der Studierenden (7 von 16, 43,75 %) hat Note 2 oder besser. 15 von 16 (93,75 %) haben Note 5 oder besser. Nur eine Person hat eine 6.
Plausibilität: Die Anzahlen ergeben 16, die Anteile 1. Die Summenhäufigkeiten wachsen von Zeile zu Zeile und enden bei 16 bzw. 1. Jeder Sprung der Treppe ist so hoch wie die Säule darüber.
Typische Fehler:
- Einen Wert beim Zählen vergessen. Die Probe „Summe = 16“ fängt das ab.
- In der Reihenfolge der Urliste aufaddieren statt nach der Rangfolge der Noten.
- Die Stufen schräg verbinden (wie ein Linienzug) oder F nur an den Noten einzeichnen.
- Voller und leerer Punkt vertauscht. An der Note gilt der obere Wert, weil F(x) „kleiner oder gleich“ zählt.
- Links von 1 und rechts von 6 nichts zeichnen. Dort ist F 0 bzw. 1.
- Säulen ohne Lücke zeichnen. Das ist die Darstellung für Klassen, nicht für Noten.