Klausurpunkte in Klassen: Häufigkeiten und Verteilungsfunktion

Die Aufgabe

Aufgabe 4. 20 Teilnehmer einer Klausur haben folgende Punktzahlen erzielt: 25, 74, 87, 43, 60, 72, 56, 36, 75, 49, 83, 52, 71, 67, 78, 50, 76, 64, 77, 69.

Bestimmen Sie für die erzielten Punktzahlen die Häufigkeitsverteilung und die Summenhäufigkeitsverteilung mit den Klassen 20 bis unter 40, 40 bis unter 60, 60 bis unter 80, 80 bis unter 100.
Stellen Sie die Häufigkeitsverteilung graphisch dar.
Stellen Sie die empirische Verteilungsfunktion graphisch dar.

a) Häufigkeitsverteilung und Summenhäufigkeitsverteilung

ordnen, Klassen abgrenzen, zählen, aufaddieren

Die Daten: Merkmal Punktzahl, 20 Werte geordnet

Die geordnete Liste: alle 20 Punktzahlen der Größe nach

Platz	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Punkte	25	36	43	49	50	52	56	60	64	67
Platz	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Punkte	69	71	72	74	75	76	77	78	83	87

Die Klassen: was „bis unter“ heißt

Die vier Klassen der Aufgabe: linke Grenze gehört dazu, rechte nicht

Klasse	in Worten	als Intervall	$x_j^u$	$x_j^o$
$K_1$	20 bis unter 40	[20; 40)	20	40
$K_2$	40 bis unter 60	[40; 60)	40	60
$K_3$	60 bis unter 80	[60; 80)	60	80
$K_4$	80 bis unter 100	[80; 100)	80	100

Je Klasse zählen: absolute Häufigkeiten

Zählen in der geordneten Liste, Klasse für Klasse

Klasse	Werte darin	$n_j$
$[20;\ 40)$	25, 36	2
$[40;\ 60)$	43, 49, 50, 52, 56	5
$[60;\ 80)$	60, 64, 67, 69, 71, 72, 74, 75, 76, 77, 78	11
$[80;\ 100)$	83, 87	2

Probe: die Anzahlen ergeben zusammen alle Teilnehmer

\sum_{j=1}^{4} n_j = 2 + 5 + 11 + 2 = 20 = n

Anteile: relative Häufigkeiten

Relative Häufigkeit: Anzahl in der Klasse geteilt durch alle

n

f_j = \frac{n_j}{n}

Eingesetzt mit n = 20

f_1 = \frac{2}{20} = 0{,}10, \quad f_2 = \frac{5}{20} = 0{,}25, \quad f_3 = \frac{11}{20} = 0{,}55, \quad f_4 = \frac{2}{20} = 0{,}10

Probe: alle Anteile zusammen ergeben 1

\sum_{j=1}^{4} f_j = 0{,}10 + 0{,}25 + 0{,}55 + 0{,}10 = 1

Aufaddieren: Summenhäufigkeiten

Summenhäufigkeiten: von Klasse 1 bis Klasse j aufaddiert

N_j = \sum_{m=1}^{j} n_m, \qquad F_j = \sum_{m=1}^{j} f_m = \frac{N_j}{n}

Ergebnis a): Häufigkeitsverteilung (nⱼ, fⱼ) und Summenhäufigkeitsverteilung (Nⱼ, Fⱼ)

Klasse	$n_j$	$f_j$	$N_j$	$F_j$
20 bis unter 40	2	0,10	2	0,10
40 bis unter 60	5	0,25	7	0,35
60 bis unter 80	11	0,55	18	0,90
80 bis unter 100	2	0,10	20	1,00
Summe	20	1,00	–	–

b) Die Häufigkeitsverteilung als Bild

Säulen ohne Lücke über den Klassen

Welches Diagramm, welche Höhe

Klassenbreite: bei allen vier Klassen gleich

x_j^o - x_j^u = 40 - 20 = 60 - 40 = 80 - 60 = 100 - 80 = 20

Gleiche Breiten: Säulenhöhe = relative Häufigkeit

\text{Höhe}_j = f_j: \quad 0{,}10;\ \ 0{,}25;\ \ 0{,}55;\ \ 0{,}10

Nur zum Vergleich: Häufigkeitsdichte, gleiche Form, andere Achsenzahlen

d_j = \frac{f_j}{20}: \quad 0{,}005;\ \ 0{,}0125;\ \ 0{,}0275;\ \ 0{,}005

Zeichnen und ablesen

Säulendiagramm ohne Zwischenraum (siehe Grafik oben): über $[20;\ 40)$ , $[40;\ 60)$ , $[60;\ 80)$ und $[80;\ 100)$ je ein Rechteck der Höhe $0{,}10$ , $0{,}25$ , $0{,}55$ und $0{,}10$ . Die meisten Teilnehmer (55 %) haben 60 bis unter 80 Punkte.

c) Die empirische Verteilungsfunktion

Summenhäufigkeiten als Linie

Was F(x) angibt, und wo man es kennt

Punkte der Verteilungsfunktion aus der Tabelle (näherungsweise): obere Klassengrenze und Fⱼ aus Schritt 5

x	20	40	60	80	100
F(x) ≈	0	0,10	0,35	0,90	1,00

Die Punkte gerade verbinden

Innerhalb einer Klasse: gerade Linie von (xⱼᵘ; Fⱼ₋₁) nach (xⱼᵒ; Fⱼ), mit F₀ = 0

F(x) \approx F_{j-1} + \frac{f_j}{x_j^o - x_j^u}\,(x - x_j^u) \quad \text{für } x_j^u \le x < x_j^o

Ergebnis c): die empirische Verteilungsfunktion der klassierten Punktzahlen

F(x) \approx \begin{cases} 0 & x < 20 \\ 0 + \frac{0{,}10}{20}\,(x - 20) & 20 \le x < 40 \\ 0{,}10 + \frac{0{,}25}{20}\,(x - 40) & 40 \le x < 60 \\ 0{,}35 + \frac{0{,}55}{20}\,(x - 60) & 60 \le x < 80 \\ 0{,}90 + \frac{0{,}10}{20}\,(x - 80) & 80 \le x < 100 \\ 1 & x \ge 100 \end{cases}

Ergebnis

n_j = 2;\ 5;\ 11;\ 2

f_j = 0{,}10;\ 0{,}25;\ 0{,}55;\ 0{,}10

N_j = 2;\ 7;\ 18;\ 20

F_j = 0{,}10;\ 0{,}35;\ 0{,}90;\ 1{,}00

b) Säulendiagramm ohne Zwischenraum über den vier Klassen, Höhe

f_j

(gleiche Klassenbreite 20)

c) Linienzug durch

(20;\ 0)

(40;\ 0{,}10)

(60;\ 0{,}35)

(80;\ 0{,}90)

(100;\ 1)

, davor 0, danach 1

Probe:

\sum n_j = 20 = n

\sum f_j = 1

F_4 = 1

, und

F

steigt nie ab

In Worten: Mehr als die Hälfte der Teilnehmer hat 60 bis unter 80 Punkte. Nur 10 % blieben unter 40, und nur 10 % erreichten 80 oder mehr.

Plausibel? Die geordnete Liste hat 7 Werte unter 60 (bis zur 56) und 18 Werte unter 80 (bis zur 78). Das passt zu $N_2 = 7$ und $N_3 = 18$ .

Der Weg in Kürze: ordnen → Klassen mit „bis unter“ abgrenzen → $n_j$ zählen → $f_j = n_j / n$ → aufaddieren zu $N_j$ , $F_j$ → Säulen der Höhe $f_j$ → Punkte $(x_j^o;\ F_j)$ gerade verbinden.

Typische Fehler:

Die 60 in die Klasse 40 bis unter 60 zählen. Sie gehört nach oben.
Die Probe auslassen: Ergeben die Anzahlen nicht 20, fehlt ein Wert oder ist doppelt.
Säulen mit Lücken zeichnen, als wären es einzelne Werte.
$F$ als Treppe mit Sprüngen an den Klassengrenzen zeichnen. Mit den Klassen als Grundlage ist $F$ ein Linienzug. Eine Treppe mit 20 Stufen wäre die exakte Funktion der Urliste; gefragt ist hier aber die Funktion der klassierten Daten.
Die Punkte über die Mitte der Klassen setzen. Das ist der Polygonzug des Histogramms (Mitten der Säulenoberkanten), nicht die Verteilungsfunktion. $F_j$ gehört über die obere Grenze.
Die Linie schon ab 0 Punkten ansteigen lassen statt erst ab 20, oder über 1 hinaus zeichnen.

Schritt 0Die Aufgabe

a) Häufigkeitsverteilung und Summenhäufigkeitsverteilung

Schritt 1Die Daten: Merkmal Punktzahl, 20 Werte geordnet

Schritt 2Die Klassen: was „bis unter“ heißt

Schritt 3Je Klasse zählen: absolute Häufigkeiten

Schritt 4Anteile: relative Häufigkeiten

Schritt 5Aufaddieren: Summenhäufigkeiten