In eigenen Worten: Gezählt wurden 300 Wohnungen. Für jede ist bekannt, in welche von drei Preisklassen ihr Mietpreis pro Quadratmeter fällt. Die einzelnen Preise kennen wir nicht.
- In a) kommen zwei Spalten dazu: der Anteil jeder Klasse an allen 300 Wohnungen und die Summenhäufigkeit, also wie viele Wohnungen bis einschließlich dieser Klasse gezählt sind.
- In b) werden die Anteile als Säulen gezeichnet.
- In c) wird eine Linie gezeichnet: für jeden Mietpreis x der Anteil der Wohnungen, die höchstens x kosten.
Der Weg:
- Tabelle lesen: was gezählt wurde und was eine Klasse ist.
- Alle Anzahlen addieren: Gesamtzahl 300 bestätigen.
- Jede Anzahl durch 300 teilen: relative Häufigkeiten.
- Anzahlen von oben nach unten aufaddieren: absolute Summenhäufigkeiten.
- Diese Summen durch 300 teilen: relative Summenhäufigkeiten.
- b) Diagrammart wählen, Säulen zeichnen, ablesen.
- c) Punkte an den Klassengrenzen setzen und mit Geraden verbinden.
Merke: Alles in dieser Aufgabe folgt aus einer Rechnung: Anzahl geteilt durch Gesamtzahl. Die Summenhäufigkeiten sind dieselben Zahlen, nur von oben nach unten aufaddiert.
Merkmal Mietpreis, 3 Klassen der Breite
2 Euro/qmBevor gerechnet wird, muss klar sein, was gezählt wurde. Die Statistik hat dafür feste Wörter:
- Merkmalsträger ist das, woran etwas beobachtet wird: hier eine Wohnung. Es gibt n=300 davon. n steht immer für die Anzahl aller Merkmalsträger.
- Merkmal ist die Eigenschaft, die beobachtet wird: der Mietpreis in Euro pro Quadratmeter (Euro/qm).
- Ausprägung ist der Wert, den eine einzelne Wohnung hat, etwa 7,80 Euro/qm.
Ein Mietpreis kann jeden Wert annehmen, auch 7,83 oder 7,834. Fast jede Wohnung hätte eine eigene Ausprägung. Deshalb fasst man die Preise zu Klassen zusammen: Bereiche, in die jeder Preis eingeordnet wird. Die Tabelle nennt nur, wie viele Wohnungen in jede Klasse fallen, nicht die einzelnen Preise.
Aus Aufgabe 4 („Klausurpunkte in Klassen: Häufigkeiten und Verteilungsfunktion“): „20 bis unter 40“ heißt: 20 gehört dazu, 40 nicht mehr. Man schreibt
[20; 40): eckige Klammer = Grenze gehört dazu, runde Klammer = Grenze gehört nicht dazu.
Die Klassenbreite ist obere Grenze minus untere Grenze. Hier ist sie bei allen drei Klassen gleich, nämlich 2 Euro/qm. Das wird in b) wichtig.
n1+n2+n3=300=n Jede Wohnung fällt in genau eine Klasse. Die drei Klassen schließen lückenlos aneinander an: Wo eine endet, beginnt die nächste. Also müssen die drei Anzahlen zusammen alle Wohnungen ergeben.
Diese Probe kostet in der Klausur zehn Sekunden. Sie zeigt, ob die Tabelle richtig abgeschrieben ist. Und die Gesamtzahl n brauchen wir im nächsten Schritt als Nenner.
Das Zeichen ∑ (großes griechisches Sigma) heißt Summe: ∑j=13nj bedeutet „alle nj von j=1 bis j=3 addieren“.
fj=0,32; 0,42; 0,26 96 Wohnungen sagen allein wenig. Ist das viel oder wenig? Das hängt davon ab, wie viele es insgesamt sind. Deshalb rechnet man den Anteil aus: Anzahl in der Klasse geteilt durch die Gesamtzahl. Dieser Anteil heißt relative Häufigkeit fj.
Als Dezimalzahl zwischen 0 und 1 geschrieben, mal 100 ergibt Prozent: 0,32 sind 32 %. Hier geht jede Division glatt auf, es wird nicht gerundet.
Probe: Alle Anteile zusammen müssen 1 ergeben, denn zusammen sind es alle Wohnungen.
Nj=96; 222; 300 Die Aufgabe fragt nach Summenhäufigkeiten. Gemeint ist: Wie viele Wohnungen liegen in dieser Klasse und in allen Klassen davor? Man addiert die Anzahlen von der billigsten Klasse an auf. Diese laufende Summe heißt absolute Summenhäufigkeit Nj (großes N).
In der Summenformel unten läuft der Zählindex m von 1 bis j: Es werden die Anzahlen der Klassen 1 bis j addiert. Ein eigener Buchstabe m ist nötig, weil j schon die Klasse nennt, bis zu der addiert wird.
Aufaddieren „bis hierhin“ ergibt nur Sinn, wenn die Klassen eine Reihenfolge haben. Beim Mietpreis ist das so: 5 bis 7 ist billiger als 7 bis 9.
Aus Aufgabe 1 („Skalenniveaus: Urlaubsort bis Flugangst“): Der Mietpreis ist kardinal skaliert (metrisch): Es sind Zahlen mit Reihenfolge und sinnvollen Abständen.
Aus Aufgabe 3 („Prüfungsnoten: Häufigkeiten und Summenhäufigkeiten“): Summenhäufigkeiten gibt es nur bei Merkmalen mit Reihenfolge, also ordinal oder kardinal skaliert. Man addiert von der kleinsten Ausprägung an auf.
N2=222 heißt: 222 Wohnungen kosten weniger als 9 Euro/qm. Die letzte Summe muss wieder n=300 sein. Das ist die Probe.
Fj=0,32; 0,74; 1 Wie in Schritt 3 wird aus der Anzahl ein Anteil: absolute Summenhäufigkeit geteilt durch n. Das ist die relative Summenhäufigkeit Fj. Sie sagt, welcher Anteil der Wohnungen bis einschließlich Klasse j liegt.
Zur Probe kann man auch die relativen Häufigkeiten aus Schritt 3 aufaddieren. Beide Wege müssen dasselbe ergeben.
In Worten: 32 % der Wohnungen kosten weniger als 7 Euro/qm, 74 % weniger als 9 Euro/qm, alle 100 % weniger als 11 Euro/qm.
Säulen ohne Zwischenraum, Höhe
fjDie Häufigkeitsverteilung ist die Zuordnung „Klasse → Häufigkeit“, also die Spalten nj oder fj aus a). Sie soll jetzt als Bild erscheinen.
Für Klassen gibt die Vorlesung eine Regel, je nach Klassenbreite:
- Gleich breite Klassen: ein Säulendiagramm ohne Zwischenraum. Jede Säule steht genau über ihrer Klasse, die Höhe ist die Häufigkeit.
- Verschieden breite Klassen: ein Histogramm. Dort zeigt die Fläche einer Säule den Anteil. Die Höhe ist dann die Häufigkeitsdichte: fj geteilt durch die Klassenbreite.
Hier sind alle Klassen 2 Euro/qm breit (Schritt 1). Also reichen Säulen mit der Höhe fj. Ohne Zwischenraum, weil die Preise lückenlos weiterlaufen: 7 ist das Ende der ersten und der Anfang der zweiten Klasse.
Bei gleichen Breiten ist das zugleich ein Histogramm. Alle Säulen sind gleich breit. Dann ist die Säule mit der doppelten Höhe auch die mit der doppelten Fläche. Höhe und Fläche zeigen also dasselbe.
höchste Säule: 7 bis unter 9 Euro/qm mit 42 %
So geht es in der Klausur auf Papier:
- Waagrechte Achse: Mietpreis in Euro/qm, mindestens von 5 bis 11, etwa 1 cm je Euro/qm. Grenzen 5, 7, 9, 11 beschriften.
- Senkrechte Achse: relative Häufigkeit fj von 0 bis 0,5, etwa 1 cm je 0,1.
- Über jede Klasse ein Rechteck von Grenze zu Grenze, so hoch wie fj: 0,32, 0,42, 0,26. Die Rechtecke stoßen aneinander.
- Achsen beschriften, mit Einheit. Das gibt Punkte.
max unten heißt: der größte der Werte in der Klammer.
Deuten: Die mittlere Säule ist am höchsten. Die meisten Wohnungen, 42 %, kosten 7 bis unter 9 Euro/qm. 9 Euro/qm oder mehr kostet nur gut ein Viertel (26 %).
In der Grafik ist die senkrechte Achse bis 1 gezogen, damit die Linie aus c) mit hineinpasst. Auf Papier zeichnet man b) und c) getrennt.
F(5)≈0,
F(7)≈0,32,
F(9)≈0,74,
F(11)=1 Die empirische Verteilungsfunktion F(x) gibt für jeden Preis x an: Welcher Anteil der Wohnungen kostet höchstens x Euro/qm? „Empirisch“ heißt: aus beobachteten Daten, nicht aus einem Modell. Sie ist die relative Summenhäufigkeit aus Schritt 5, nur für jeden beliebigen Preis statt nur für ganze Klassen.
An den Klassengrenzen liefert Teil a) die Werte. Unter 5 Euro/qm liegt keine Wohnung, also F(5)≈0. Unter 7 liegt die ganze erste Klasse, also F(7)≈F1=0,32. Ebenso F(9)≈F2=0,74 und F(11)=F3=1.
Warum „ungefähr“? F(7) zählt die Wohnungen mit höchstens 7 Euro/qm, F1 die mit weniger als 7 Euro/qm. Weil der Mietpreis stetig ist und wir die Werte als gleichmäßig verteilt annehmen, liegt auf einer einzelnen Grenze praktisch kein Anteil. „Höchstens 7“ und „weniger als 7“ geben darum denselben Wert 0,32.
Die Formelsammlung schreibt die obere Grenze der Klasse j als xjo, die untere als xju. Das hochgestellte o ist keine Hochzahl, sondern steht für „oben“, das u für „unten“. Damit gilt F(xjo)≈Fj.
Linienzug durch (5; 0), (7; 0,32), (9; 0,74), (11; 1)
Zwischen den Grenzen kennen wir die einzelnen Preise nicht. Wie viele der 126 Wohnungen kosten unter 8 Euro/qm? Die Tabelle sagt es nicht.
Annahme: Innerhalb einer Klasse sind die Preise gleichmäßig verteilt. Dann wächst der Anteil von Grenze zu Grenze gleichmäßig. Gleichmäßiges Wachstum ist im Bild eine Gerade. Die bekannten Punkte werden also mit dem Lineal verbunden. Diese Linie aus geraden Stücken heißt Linienzug. Vorsicht: „Polygonzug“ nennt man etwas anderes, die Linie durch die Mitten der Säulenoberkanten im Histogramm.
Aus Aufgabe 4 („Klausurpunkte in Klassen: Häufigkeiten und Verteilungsfunktion“): Bei klassierten Daten ist die Verteilungsfunktion keine Treppe, sondern ein Linienzug. Man kennt sie nur an den Klassengrenzen und verbindet diese Punkte gerade.
In jeder Klasse steigt die Linie um genau fj, die Höhe der Säule darüber. Am steilsten ist sie dort, wo die höchste Säule steht: zwischen 7 und 9.
Auf Papier: senkrechte Achse von 0 bis 1, die vier Punkte eintragen, mit dem Lineal verbinden. Links von 5 waagrecht auf 0, rechts von 11 waagrecht auf 1.
F(8)≈0,53 Ergänzung, nicht gefragt: eine Probe, ob die Zeichnung stimmt. Wir lesen den Anteil der Wohnungen unter 8 Euro/qm ab und rechnen ihn nach.
8 liegt in der Mitte der Klasse [7; 9). Nach der Annahme aus Schritt 9 liegt dann die Hälfte dieser Klasse unter 8. Das ist die Hälfte von f2=0,42, also 0,21. Dazu kommt die ganze erste Klasse mit 0,32.
Allgemein: Anteil bis zur unteren Grenze plus Anstieg pro Euro/qm mal Abstand zur unteren Grenze. Fj−1 ist die relative Summenhäufigkeit der Klasse davor, hier F1=0,32. Die Formelsammlung nutzt diese Gerade beim Median rückwärts: Dort ist der Anteil 0,5 gegeben und der Preis x gesucht.
In Worten: Gut die Hälfte der Wohnungen (etwa 53 %) kostet weniger als 8 Euro/qm.
| Teil | Weg | Ergebnis |
|---|
| a) | fj=nj/n, aufaddieren, Fj=Nj/n | fj: 0,32; 0,42; 0,26 · Nj: 96; 222; 300 · Fj: 0,32; 0,74; 1 |
| b) | gleiche Breiten → Säulen ohne Lücke | Höhen 0,32; 0,42; 0,26 |
| c) | Punkte an den Grenzen, Geraden dazwischen | Linienzug (5; 0), (7; 0,32), (9; 0,74), (11; 1) |
In Worten: 32 % der angebotenen Wohnungen kosten weniger als 7 Euro/qm, die meisten (42 %) zwischen 7 und unter 9 Euro/qm. 74 % liegen unter 9 Euro/qm, und keine kostet 11 Euro/qm oder mehr.
Rückblick: Anteil = Anzahl durch Gesamtzahl. Die Summenhäufigkeit addiert die Anteile der Reihe nach auf, von der billigsten Klasse an. Die Verteilungsfunktion klassierter Daten verbindet diese Summen an den Klassengrenzen mit Geraden.