Gegeben sind die Tore von Arminia Bielefeld in 17 Spielen, in der Reihenfolge der Spieltage. Gesucht sind drei Zahlen, die jeweils sagen, wie viele Tore „typisch“ waren. Solche Zahlen heißen Lagemaße: Sie geben an, um welchen Wert sich die Daten gruppieren. Hier heißt nur der Durchschnitt (das arithmetische Mittel) kurz „Mittelwert“.
- a) Der Modus ist der Wert, der am häufigsten vorkommt.
- b) Der Median ist der Wert, der in der Mitte steht, wenn man alle Werte der Größe nach sortiert.
- c) Das arithmetische Mittel, kurz Mittelwert, ist der Durchschnitt: alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen.
„Berechnen und interpretieren“ heißt in der Klausur zweierlei: die Zahl ausrechnen und dazu einen Satz schreiben, was sie für Bielefeld bedeutet. Der Satz bringt eigene Punkte. Eine Zahl ohne Satz ist nur die halbe Antwort.
Der Weg:
- Daten einordnen und auszählen, dann den Modus ablesen (Schritte 1 bis 3).
- Werte sortieren, die Mitte finden und deuten (Schritte 4 bis 6).
- Den Durchschnitt auf zwei Wegen rechnen und deuten (Schritte 7 bis 9).
- Die drei Ergebnisse vergleichen (Schritt 10).
Merke: Modus, Median und Mittelwert beantworten dieselbe Frage („Was ist ein typischer Wert?“) auf drei verschiedene Arten. Sie müssen nicht gleich sein.
Bevor gerechnet wird, lohnt ein Blick darauf, was die Zahlen sind. Die Statistik hat dafür drei Begriffe:
- Der Merkmalsträger ist das, woran etwas beobachtet wird. Hier ist das ein Spiel.
- Das Merkmal ist die Eigenschaft, die interessiert. Hier: die Anzahl der Tore von Bielefeld in diesem Spiel.
- Die Ausprägungen sind die Werte, die das Merkmal annehmen kann. Hier: 0, 1, 2, 3, … Tore.
Die Liste der Werte in der Reihenfolge, in der sie erhoben wurden, heißt Urliste. Ihre Länge ist der Umfang n. Hier gibt es 17 Spiele, also n=17.
Aus Aufgabe 1 („Skalenniveaus: Urlaubsort bis Flugangst“): Die Skala sagt, was man mit den Werten tun darf. Auf der Kardinalskala sind die Werte echte Zahlen: Man kann sie ordnen, Abstände bilden und addieren.
Tore sind Zahlen mit festem Nullpunkt (0 Tore heißt: kein Tor). Das Merkmal ist also kardinal (genauer: verhältnisskaliert). Außerdem ist es diskret: Es gibt nur ganze Zahlen, kein Spiel endet mit 2,5 Toren. Deshalb sind alle drei Lagemaße erlaubt: Der Modus braucht nur Zählen, der Median braucht eine Reihenfolge, der Mittelwert braucht Addieren.
ni=2, 3, 5, 1, 5, 1 Aus Aufgabe 3 („Prüfungsnoten: Häufigkeiten und Summenhäufigkeiten“): Die
absolute Häufigkeit ni einer Ausprägung
xi ist die Anzahl der Werte, die genau gleich
xi sind. Alle
ni zusammen ergeben
n.
Um den häufigsten Wert zu finden, muss man zählen, wie oft jede Torzahl vorkommt. Auf Papier geht das mit einer Strichliste: die Urliste von links nach rechts durchgehen und bei jeder Zahl einen Strich in die passende Zeile setzen. So wird kein Wert vergessen und keiner doppelt gezählt.
5 Tore kamen in keinem Spiel vor. In der Tabelle stehen daher nur die k=6 Torzahlen, die wirklich auftreten. k ist die Anzahl der verschiedenen Ausprägungen.
Probe: Die Summe aller ni muss wieder 17 ergeben. Das prüft, ob beim Zählen ein Wert verloren ging.
Aus Aufgabe 3 („Prüfungsnoten: Häufigkeiten und Summenhäufigkeiten“): Das Zeichen
∑ (Summenzeichen, ein großes griechisches S) heißt: alle Werte dahinter addieren.
∑i=16ni liest man „Summe der
ni für
i von 1 bis 6“.
xMod=2 und xMod=4 Der Modus xMod ist der Wert mit der größten absoluten Häufigkeit. Man sucht also in der Spalte ni die größte Zahl.
Die größte Häufigkeit ist 5. Sie kommt aber zweimal vor: bei 2 Toren und bei 4 Toren. Für diesen Fall sagt die Vorlesung: Gibt es mehrere Ausprägungen mit der größten Häufigkeit, dann gibt es entsprechend viele Modi. Hier gibt es also zwei Modi: 2 und 4. Eine solche Verteilung heißt bimodal (zweigipflig): Im Säulendiagramm hat sie zwei gleich hohe Gipfel.
Interpretation: Am häufigsten schoss Bielefeld 2 Tore oder 4 Tore in einem Spiel, jeweils in 5 der 17 Spiele.
Merke: Der Modus ist ein Wert aus den Daten, keine Häufigkeit. Die Antwort ist „2 und 4 Tore“, nicht „5“.
Bei so wenigen Daten kann der Modus Zufall sein: Ein einziges Spiel mit 2 statt 4 Toren, und es gäbe nur noch einen Modus. Das ist eine Schwäche dieses Lagemaßes.
x(1)≤x(2)≤⋯≤x(17) Der Median ist der Wert in der Mitte. „Mitte“ hat nur Sinn, wenn die Werte der Größe nach geordnet sind. Darum wird die Urliste zuerst aufsteigend sortiert.
Der Wert auf Platz j der sortierten Liste heißt x(j). Die Klammer um den Index zeigt: Gemeint ist der Platz in der sortierten Liste, nicht der Spieltag. So ist x(1)=0 der kleinste und x(17)=6 der größte Wert.
Aus der Häufigkeitstabelle geht das schnell: zweimal die 0, dreimal die 1, fünfmal die 2 und so weiter. Am Ende müssen wieder 17 Werte dastehen.
x~=x(9)=2 Der Median x~ (gesprochen „x Schlange“) ist der Wert, der in der Mitte der sortierten Urliste steht. Die Formelsammlung hat dafür zwei Formeln, je nachdem ob n gerade oder ungerade ist:
- n ungerade: Es gibt genau einen Wert in der Mitte, auf Platz 2n+1.
- n gerade: Zwei Werte bilden die Mitte. Der Median ist ihr Durchschnitt.
Hier ist n=17 ungerade. Also gilt die erste Formel. Der mittlere Platz ist 217+1=9. Probe: Vor Platz 9 stehen 8 Werte, dahinter auch 8.
In der sortierten Liste steht auf Platz 9 eine 2. Also ist der Median 2 Tore.
Merke: 2n+1 ist der
Platz, nicht der Median. Der Median ist der Wert, der auf diesem Platz steht.
F(2)=1710≈0,59≥0,5 Der Median teilt die sortierten Spiele in zwei Hälften. Mindestens die Hälfte der Spiele liegt bei ihm oder darunter, mindestens die Hälfte bei ihm oder darüber.
Nachgezählt: Höchstens 2 Tore fielen in 2+3+5=10 Spielen. Mindestens 2 Tore fielen in 5+1+5+1=12 Spielen. Beides ist mehr als die Hälfte von 17, also mehr als 8,5 Spiele. Alle 5 Spiele mit genau 2 Toren zählen in beiden Gruppen: 10+12=22=17+5.
Aus Aufgabe 3 („Prüfungsnoten: Häufigkeiten und Summenhäufigkeiten“): Die
empirische Verteilungsfunktion F(x) ist der Anteil der Werte, die höchstens
x sind. An den Ausprägungen ist sie die relative Summenhäufigkeit
Fi.
Probe mit der allgemeinen Definition: Die Formelsammlung definiert den Median als kleinsten Wert x mit F(x)≥0,5. Bei 1 Tor ist F(1)=175≈0,29, das ist zu wenig. Bei 2 Toren ist F(2)=1710≈0,59, zum ersten Mal mindestens 0,5. Auch so ergibt sich der Median 2.
Interpretation: In mindestens der Hälfte der Spiele schoss Bielefeld höchstens 2 Tore, in mindestens der Hälfte mindestens 2 Tore.
xˉ=1742≈2,47 Das arithmetische Mittel xˉ (gesprochen „x quer“) ist der Durchschnitt: die Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl n.
Wie in Schritt 2 heißt das Summenzeichen ∑i=1nxi: alle Werte x1 bis xn addieren.
Achtung: In dieser Formel ist xi das i-te Spiel der Urliste, also x1=2, x2=1 und so weiter. Es ist nicht die i-te Zeile der Tabelle aus Schritt 2. Hier läuft i von 1 bis 17.
Die 17 Torzahlen ergeben zusammen 42 Tore. Geteilt durch 17 Spiele ergibt sich 2,470588… Gerundet auf zwei Nachkommastellen sind das 2,47 Tore pro Spiel.
Tipp für die Klausur: Beim Addieren von 17 Zahlen passiert leicht ein Fehler. Zwischensummen in Fünfergruppen helfen, und der nächste Schritt liefert eine Probe.
xˉ=171∑xini=1742 Statt 17 einzelne Werte zu addieren, kann man die Häufigkeitstabelle nutzen. Die 2 kommt fünfmal vor, also tragen diese Spiele 2⋅5=10 Tore bei. So geht man jede Zeile durch: Torzahl xi mal Häufigkeit ni.
Anders als in Schritt 7 ist xi hier wieder die i-te Ausprägung der Tabelle aus Schritt 2 (0, 1, 2, 3, 4, 6), nicht das i-te Spiel. Summiert wird über die k=6 Zeilen.
In der Grafik zeigt das Dreieck bei 2,47 den Mittelwert als Schwerpunkt: Stellt man sich die Balken als Gewichte auf einer Wippe vor, bleibt sie genau über diesem Punkt im Gleichgewicht.
Die Formelsammlung nennt noch eine zweite Form mit der relativen Häufigkeit fi=nni, dem Anteil der Spiele mit xi Toren. Sie liefert dasselbe, denn n1 wird nur in die Summe gezogen.
Probe: Beide Wege ergeben 42 Tore und damit dasselbe xˉ. Dieser Weg ist in der Klausur meist schneller, sobald die Tabelle aus Teil a) steht.
xˉ≈2,47 Tore pro Spiel Interpretation: Im Durchschnitt schoss Bielefeld in der Hinrunde 2,47 Tore pro Spiel.
Anders gesagt: Verteilt man die 42 Tore gleichmäßig auf die 17 Spiele, kommen auf jedes Spiel 2,47 Tore.
2,47 Tore kann es in keinem Spiel geben, denn Tore sind ganze Zahlen. Das ist kein Fehler: Der Mittelwert ist eine Rechengröße und muss kein Wert aus der Urliste sein. Darum nicht auf 2 oder 3 runden.
Probe: 2,47 liegt zwischen dem kleinsten Wert 0 und dem größten Wert 6. Und zurückgerechnet ergibt 2,47⋅17 wieder etwa 42 Tore.
x~=2<xˉ≈2,47 Die Aufgabe fragt nicht nach einem Vergleich. Er hilft aber, die drei Zahlen zu verstehen, und in der Klausur kommt oft die Frage, welches Lagemaß besser passt.
Der Mittelwert 2,47 liegt über dem Median 2. Der Grund: Für den Median zählt nur, welcher Wert auf Platz 9 steht. Wie groß die Werte rechts davon sind, ist egal. Im Mittelwert dagegen steckt jedes Tor. Die fünf Spiele mit 4 Toren und das Spiel mit 6 Toren bringen viele Tore in die Summe und ziehen den Mittelwert nach oben.
Gedankenexperiment: Hätte Bielefeld im Spiel mit 6 Toren nur 3 geschossen, wäre die Summe 42−3=39. Der Mittelwert fiele auf 1739≈2,29. Der Median bliebe 2, denn auf Platz 9 steht immer noch eine 2. Der Median reagiert also weniger stark auf extreme Werte als das arithmetische Mittel.
Und der Modus? Er sagt hier am wenigsten aus. Es gibt zwei davon, und schon ein einziges anderes Spiel könnte sie ändern.
Die drei Antworten, jede mit ihrem Satz für die Klausur:
- a) Am häufigsten schoss Bielefeld 2 oder 4 Tore (je 5 von 17 Spielen).
- b) In mindestens der Hälfte der Spiele fielen höchstens 2 Tore, in mindestens der Hälfte mindestens 2.
- c) Im Durchschnitt schoss Bielefeld 2,47 Tore pro Spiel.
Typische Fehler:
- Nur einen Modus nennen, obwohl 2 und 4 gleich oft vorkommen.
- Die Häufigkeit 5 als Modus angeben statt der Torzahl.
- Den Median aus der unsortierten Urliste ablesen: Dort steht auf Platz 9 eine 0, das ist falsch.
- Den Platz 2n+1=9 als Median angeben statt des Werts 2.
- Beim Mittelwert durch die Anzahl der Zeilen (6) teilen statt durch n = 17.
- Den Mittelwert auf eine ganze Zahl runden, weil Tore ganze Zahlen sind.