Haushaltseinkommen: Median, Mittelwert, Histogramm

Die Aufgabe

Aufgabe 7. Jüngste Umfragen des Statistischen Bundesamtes haben für die das monatlich verfügbare Nettoeinkommen folgende Daten ergeben:

Monatliches Haushaltsnettoeinkommen von … bis unter … TEUR	$f_i = f(x_i)$
unter 1,3	0,09
1,3 – 2,6	0,27
2,6 – 3,6	0,20
3,6 – 5	0,21
5 – 18	0,23

Berechnen und interpretieren Sie den Median.
Berechnen und interpretieren Sie das arithmetische Mittel.
Stellen Sie die Daten mit Hilfe eines Histogramms dar.

a) Der Median

das Einkommen, das die Haushalte halbiert

Die Tabelle lesen: Klassen und Anteile

$i$	Klasse in TEUR	$x_i^u$	$x_i^o$	$f_i$
1	unter 1,3	(offen)	1,3	0,09
2	1,3 bis unter 2,6	1,3	2,6	0,27
3	2,6 bis unter 3,6	2,6	3,6	0,20
4	3,6 bis unter 5	3,6	5	0,21
5	5 bis unter 18	5	18	0,23

Probe: Die Anteile ergeben zusammen 1

0{,}09 + 0{,}27 + 0{,}20 + 0{,}21 + 0{,}23 = 1{,}00

Die Anteile aufsummieren: die Verteilungsfunktion F

Aufsummieren, Klasse für Klasse

\begin{aligned} F_1 &= 0{,}09 \\ F_2 &= 0{,}09 + 0{,}27 = 0{,}36 \\ F_3 &= 0{,}36 + 0{,}20 = 0{,}56 \\ F_4 &= 0{,}56 + 0{,}21 = 0{,}77 \\ F_5 &= 0{,}77 + 0{,}23 = 1{,}00 \end{aligned}

$i$	Klasse in TEUR	$f_i$	$F_i$
1	unter 1,3	0,09	0,09
2	1,3 bis unter 2,6	0,27	0,36
3	2,6 bis unter 3,6	0,20	0,56
4	3,6 bis unter 5	0,21	0,77
5	5 bis unter 18	0,23	1,00

Die Klasse finden, in der der Median liegt

Wo überschreitet F die Marke 0,5?

\begin{aligned} F_1 &= 0{,}09 < 0{,}5 \\ F_2 &= 0{,}36 < 0{,}5 \\ F_3 &= 0{,}56 \ge 0{,}5 \quad\Rightarrow\quad j = 3,\ \text{Klasse } 2{,}6 \text{ bis unter } 3{,}6 \end{aligned}

In der Medianklasse genau rechnen: x̃ ≈ 3,3

Formelsammlung: Median bei klassierten Daten (feinberechnet), 2. Schritt

\tilde x \approx x_j^u + \frac{0{,}5 - F(x_j^u)}{f_j}\,\bigl(x_j^o - x_j^u\bigr)

Werte der Medianklasse j = 3 einsetzen

x_3^u = 2{,}6, \quad x_3^o = 3{,}6, \quad F(x_3^u) = F_2 = 0{,}36, \quad f_3 = 0{,}20

Ausrechnen, Zeile für Zeile

\begin{aligned} \tilde x &\approx 2{,}6 + \frac{0{,}5 - 0{,}36}{0{,}20}\,(3{,}6 - 2{,}6) \\ &= 2{,}6 + \frac{0{,}14}{0{,}20} \cdot 1{,}0 \\ &= 2{,}6 + 0{,}7 \\ &= 3{,}3 \text{ TEUR} \end{aligned}

Probe über die Fläche: $0{,}09 + 0{,}27 + 0{,}7 \cdot 0{,}20 = 0{,}36 + 0{,}14 = 0{,}50$ . Links von 3,3 TEUR liegt genau die Hälfte.

Den Median deuten

Interpretation des Medians

Etwa 50 % der Haushalte haben ein monatliches Nettoeinkommen von weniger als 3.300 €, die anderen 50 % haben mindestens 3.300 €.

b) Das arithmetische Mittel

der Durchschnitt aus Klassenmitten

Für jede Klasse die Mitte bilden

Klassenmitte: Mittelwert der beiden Grenzen

x_i = \frac{x_i^u + x_i^o}{2}

Für alle fünf Klassen (Klasse 1 mit der Annahme x₁ᵘ = 0)

\begin{aligned} x_1 &= \tfrac{0 + 1{,}3}{2} = 0{,}65 \\ x_2 &= \tfrac{1{,}3 + 2{,}6}{2} = 1{,}95 \\ x_3 &= \tfrac{2{,}6 + 3{,}6}{2} = 3{,}1 \\ x_4 &= \tfrac{3{,}6 + 5}{2} = 4{,}3 \\ x_5 &= \tfrac{5 + 18}{2} = 11{,}5 \end{aligned}

Klassenmitte mal Anteil, alles addieren: x̄ ≈ 4,753

Formelsammlung: arithmetisches Mittel aus relativen Häufigkeiten

\bar x = \sum_{i=1}^{k} x_i \cdot f_i

$i$	Klassenmitte $x_i$	$f_i$	$x_i \cdot f_i$
1	0,65	0,09	0,0585
2	1,95	0,27	0,5265
3	3,1	0,20	0,6200
4	4,3	0,21	0,9030
5	11,5	0,23	2,6450
Summe		1,00	4,7530

Eingesetzt mit k = 5 Klassen

\begin{aligned} \bar x &\approx 0{,}65 \cdot 0{,}09 + 1{,}95 \cdot 0{,}27 + 3{,}1 \cdot 0{,}20 + 4{,}3 \cdot 0{,}21 + 11{,}5 \cdot 0{,}23 \\ &= 0{,}0585 + 0{,}5265 + 0{,}62 + 0{,}903 + 2{,}645 \\ &= 4{,}753 \text{ TEUR} \end{aligned}

4,753 TEUR sind 4.753 €. Gerundet wird nicht: Alle Produkte gehen auf.

Wie genau ist der Mittelwert?

Beitrag der offenen Klasse: kleinster Wert und obere Schranke

\begin{aligned} \text{Beginn bei } 0: &\quad 0{,}65 \cdot 0{,}09 = 0{,}0585 \\ \text{Mitte knapp unter } 1{,}3: &\quad x_1 \cdot 0{,}09 < 1{,}3 \cdot 0{,}09 = 0{,}117 \\ \text{Unterschied:} &\quad \text{weniger als } 0{,}117 - 0{,}0585 = 0{,}0585 \text{ TEUR} \end{aligned}

Beispiel: Klasse 1 von 1,0 bis 1,3, Mitte 1,15

\bar x \approx 4{,}753 - 0{,}0585 + 1{,}15 \cdot 0{,}09 = 4{,}753 - 0{,}0585 + 0{,}1035 = 4{,}798 \text{ TEUR}

Den Mittelwert deuten und mit dem Median vergleichen

Interpretation des arithmetischen Mittels

Das durchschnittliche monatliche Haushaltsnettoeinkommen beträgt etwa 4.753 €.

Abstand zum Median

\bar x - \tilde x \approx 4{,}753 - 3{,}3 = 1{,}453 \text{ TEUR}

Ergänzung (nicht gefragt): Anteil der Haushalte unter dem Mittelwert, Interpolation in Klasse 4

\begin{aligned} F(4{,}753) &\approx F_3 + \frac{4{,}753 - 3{,}6}{5 - 3{,}6} \cdot f_4 \\ &= 0{,}56 + \frac{1{,}153}{1{,}4} \cdot 0{,}21 \\ &\approx 0{,}56 + 0{,}8236 \cdot 0{,}21 \\ &\approx 0{,}56 + 0{,}1730 = 0{,}7330 \approx 73\,\% \end{aligned}

Lage zueinander

\tilde x = 3{,}3 \ <\ \bar x \approx 4{,}753 \quad\Rightarrow\quad \text{rechtsschiefe Verteilung}

c) Das Histogramm

Fläche statt Höhe, weil die Klassen verschieden breit sind

Warum die Höhe nicht der Anteil sein darf

Fläche eines Rechtecks = Anteil der Klasse

b_i \cdot d_i = f_i

Nach der Höhe umgestellt: durch die Breite teilen

d_i = \frac{f_i}{b_i}

$b_i$ ist die Breite der Klasse $i$ in TEUR, $d_i$ die Höhe des Rechtecks.

Die Klassenbreiten berechnen

Breite = obere minus untere Grenze, in TEUR

\begin{aligned} b_1 &= 1{,}3 - 0 = 1{,}3 \\ b_2 &= 2{,}6 - 1{,}3 = 1{,}3 \\ b_3 &= 3{,}6 - 2{,}6 = 1{,}0 \\ b_4 &= 5 - 3{,}6 = 1{,}4 \\ b_5 &= 18 - 5 = 13 \end{aligned}

Die Höhen berechnen: Häufigkeitsdichte

Höhe = Anteil : Breite

\begin{aligned} d_1 &= \tfrac{0{,}09}{1{,}3} \approx 0{,}0692 \\ d_2 &= \tfrac{0{,}27}{1{,}3} \approx 0{,}2077 \\ d_3 &= \tfrac{0{,}20}{1{,}0} = 0{,}2000 \\ d_4 &= \tfrac{0{,}21}{1{,}4} = 0{,}1500 \\ d_5 &= \tfrac{0{,}23}{13} \approx 0{,}0177 \end{aligned}

Klasse in TEUR	$f_i$	Breite $b_i$	Höhe $d_i$
0 bis unter 1,3	0,09	1,3	0,0692
1,3 bis unter 2,6	0,27	1,3	0,2077
2,6 bis unter 3,6	0,20	1,0	0,2000
3,6 bis unter 5	0,21	1,4	0,1500
5 bis unter 18	0,23	13	0,0177

Probe: Alle Flächen ergeben 1

Breite · Höhe mit den gerundeten Höhen

\begin{aligned} &1{,}3 \cdot 0{,}0692 + 1{,}3 \cdot 0{,}2077 + 1{,}0 \cdot 0{,}2000 + 1{,}4 \cdot 0{,}1500 + 13 \cdot 0{,}0177 \\ &= 0{,}08996 + 0{,}27001 + 0{,}2 + 0{,}21 + 0{,}2301 \\ &= 1{,}00007 \approx 1 \end{aligned}

Das Histogramm zeichnen

Fahrplan für die Zeichnung

Einkommensachse 0 bis 18 TEUR, maßstabsgetreu (1 TEUR = 5 mm).
Hochachse Häufigkeitsdichte 0 bis 0,25 (0,05 = 2 cm).
Fünf Rechtecke ohne Lücke: 0 bis 1,3 (Höhe 0,0692), 1,3 bis 2,6 (0,2077), 2,6 bis 3,6 (0,2000), 3,6 bis 5 (0,1500), 5 bis 18 (0,0177).
Achsen beschriften, Höhen dazuschreiben.

Ergebnis

a) Median

\tilde x \approx \mathbf{3{,}3}

TEUR: Etwa 50 % der Haushalte haben weniger als 3.300 € netto im Monat, 50 % mindestens so viel.

b) Arithmetisches Mittel

\bar x \approx \mathbf{4{,}753}

TEUR: Das durchschnittliche Haushaltsnettoeinkommen beträgt etwa 4.753 € im Monat (mit der Annahme, dass Klasse 1 bei 0 beginnt; jede andere Untergrenze ändert es um weniger als 59 €).

\bar x > \tilde x

: rechtsschiefe Verteilung; wenige hohe Einkommen ziehen den Mittelwert nach oben.

c) Histogramm mit den Höhen

d_i = 0{,}0692;\ 0{,}2077;\ 0{,}2000;\ 0{,}1500;\ 0{,}0177

über den Klassen 0–1,3–2,6–3,6–5–18 TEUR; Probe: Flächen zusammen 1.

Der Weg in Kürze:

Anteile prüfen (Summe 1) und zu $F$ aufsummieren.
Medianklasse suchen, fehlenden Anteil durch $f_j$ teilen, mal Breite.
Klassenmitten bilden, mit $f_i$ gewichten, addieren.
Breiten bilden, Höhe = Anteil : Breite, Flächen prüfen, maßstabsgetreu zeichnen.

Typische Fehler:

Als Median die Klassenmitte der Medianklasse (3,1) angeben statt zu interpolieren.
Im Zähler $0{,}5 - F_3$ statt $0{,}5 - F_2$ nehmen: Gemeint ist der Anteil unterhalb der Medianklasse.
Beim Mittelwert die fünf Klassenmitten ungewichtet mitteln (ergibt 4,3).
Die offene Klasse stillschweigend weglassen oder ohne Begründung festlegen.
Im Histogramm den Anteil $f_i$ als Höhe zeichnen oder die Achse unterbrechen: Dann stimmen die Flächen nicht.
Nur die Zahl hinschreiben: „Interpretieren“ verlangt einen Satz mit Einheit im Sachzusammenhang.

Teil	Weg	Ergebnis
a)	$F$ aufsummieren, Klasse mit $F_{j-1} < 0{,}5 \le F_j$ , interpolieren	$\tilde x \approx 3{,}3$
b)	Klassenmitten, $\sum x_i f_i$	$\bar x \approx 4{,}753$
c)	Höhe $d_i = f_i : b_i$	Histogramm

Schritt 0Die Aufgabe

a) Der Median

Schritt 1Die Tabelle lesen: Klassen und Anteile

Schritt 2Die Anteile aufsummieren: die Verteilungsfunktion F

Schritt 3Die Klasse finden, in der der Median liegt

Schritt 4In der Medianklasse genau rechnen: x̃ ≈ 3,3

Schritt 5Den Median deuten

b) Das arithmetische Mittel

Schritt 6Für jede Klasse die Mitte bilden

Schritt 7Klassenmitte mal Anteil, alles addieren: x̄ ≈ 4,753

Schritt 8Wie genau ist der Mittelwert?

Schritt 9Den Mittelwert deuten und mit dem Median vergleichen