Das Unternehmen hat gezählt, wie oft seine Kunden eine Beratung genutzt haben. In der Tabelle stehen aber keine Anzahlen von Kunden, sondern nur Anteile : 0,15 heißt 15 % der Kunden. Wie viele Kunden es insgesamt sind, steht nirgends.
Die Aufgabe hat keine eigene Fragezeile. Die Frage steckt im ersten Satz: „wie häufig … durchschnittlich“. Gesucht ist also die durchschnittliche Zahl der Beratungen je Kunde. Der Durchschnitt heißt in der Statistik arithmetisches Mittel oder kurz Mittelwert . Er gehört zu den Lagemaßen : Zahlen, die sagen, um welchen Wert sich die Daten gruppieren.
In der Klausur gehört zur Zahl ein Satz, was sie bedeutet, mit der Einheit „Beratungen je Kunde“. Der Satz bringt eigene Punkte.
Der Weg:
Die Tabelle lesen und prüfen, ob die Anteile vollständig sind (Schritte 1 und 2). Verstehen, warum jeder Wert mit seinem Anteil gewichtet wird, dann rechnen und deuten (Schritte 3 bis 5). Ergänzung, nicht gefragt: wie stark die Werte um den Mittelwert streuen (Schritte 6 und 7). Merke: Sind nur Anteile gegeben, zählt jeder Wert so stark wie sein Anteil. Die vier Werte 0, 1, 2, 3 ohne Anteile zu mitteln, ist falsch.
x i = 0 , 1 , 2 , 3 f i = 0,15 , 0,30 , 0,35 , 0,20 x_i = 0,\ 1,\ 2,\ 3 \quad f_i = 0{,}15,\ 0{,}30,\ 0{,}35,\ 0{,}20 x i = 0 , 1 , 2 , 3 f i = 0 , 15 , 0 , 30 , 0 , 35 , 0 , 20 Zuerst die Begriffe, mit denen die Statistik eine solche Tabelle beschreibt:
Der Merkmalsträger ist das, woran etwas beobachtet wird: ein Kunde. Das Merkmal ist die Eigenschaft, die interessiert: wie oft der Kunde eine Beratung in Anspruch genommen hat. Die Ausprägungen x i x_i x i x 1 = 0 x_1 = 0 x 1 = 0 x 2 = 1 x_2 = 1 x 2 = 1 x 3 = 2 x_3 = 2 x 3 = 2 x 4 = 3 x_4 = 3 x 4 = 3 i i i k = 4 k = 4 k = 4 Aus Blatt 1, Aufgabe 3 („Prüfungsnoten: Häufigkeiten und Summenhäufigkeiten“): Die
relative Häufigkeit f i f_i f i ist der Anteil der Merkmalsträger mit der Ausprägung
x i x_i x i : absolute Häufigkeit geteilt durch die Gesamtzahl,
f i = n i n f_i = \tfrac{n_i}{n} f i = n n i .
Die Zeile „Anteil der Kunden“ enthält genau diese relativen Häufigkeiten. f 3 = 0,35 f_3 = 0{,}35 f 3 = 0 , 35 n i n_i n i n n n
Aus Blatt 1, Aufgabe 1 („Skalenniveaus: Urlaubsort bis Flugangst“): Ein kardinales (metrisches) Merkmal hat echte Zahlen als Werte: Man kann sie ordnen, Abstände bilden und addieren.
Die Zahl der Beratungen ist kardinal: 0 heißt keine Beratung, 2 sind doppelt so viele wie 1. Sie ist außerdem diskret : Sie hat nur einzelne, abzählbare Werte, hier ganze Zahlen. Weil man die Werte addieren darf, ist ein Durchschnitt hier sinnvoll.
Über welchen Zeitraum gezählt wurde, sagt die Aufgabe nicht. Das Ergebnis gilt darum „je Kunde“ im erhobenen Zeitraum.
∑ i = 1 4 f i = 1 \sum_{i=1}^{4} f_i = 1 ∑ i = 1 4 f i = 1 Bevor gerechnet wird, lohnt eine Probe: Jeder Kunde hat genau eine der vier Ausprägungen. Die vier Anteile zusammen müssen also alle Kunden ergeben, das sind 1 oder 100 %.
Das Zeichen ∑ \sum ∑ ∑ i = 1 4 f i \sum_{i=1}^{4} f_i ∑ i = 1 4 f i f i f_i f i i i i f 1 + f 2 + f 3 + f 4 f_1 + f_2 + f_3 + f_4 f 1 + f 2 + f 3 + f 4
Die Summe ist genau 1. Die Tabelle ist also vollständig: Kein Kunde fehlt, und keine Gruppe ist doppelt gezählt. Wäre die Summe etwa 0,95, hätte man sich verlesen oder es fehlte eine Ausprägung, zum Beispiel 4 Beratungen.
Dass die Anteile zusammen 1 ergeben, wird gleich beim Durchschnitt noch einmal wichtig.
x ˉ = ∑ i = 1 k x i ⋅ f i \bar{x} = \sum_{i=1}^{k} x_i \cdot f_i x ˉ = ∑ i = 1 k x i ⋅ f i Der naheliegende Fehler: die vier Werte 0, 1, 2, 3 addieren und durch 4 teilen. Das ergibt 1,5. Diese Rechnung tut so, als hätte jede Ausprägung gleich viele Kunden. Tatsächlich haben 35 % der Kunden 2 Beratungen, aber nur 15 % keine. Die Anteile müssen also in die Rechnung.
Ein Gedankenbeispiel: Angenommen, das Unternehmen hätte 100 Kunden. Dann hätten 15 Kunden keine Beratung, 30 Kunden eine, 35 Kunden zwei und 20 Kunden drei. Für den Durchschnitt zählt man alle Beratungen zusammen und teilt durch die 100 Kunden. Die 2 kommt dabei 35-mal vor, nicht einmal.
Aus Blatt 1, Aufgabe 6 („Tore von Arminia Bielefeld: Modus, Median, Mittelwert“): Aus einer Häufigkeitstabelle rechnet man den Mittelwert so: jeden Wert
x i x_i x i mit seiner Häufigkeit
n i n_i n i malnehmen, alles addieren und durch
n n n teilen:
x ˉ = 1 n ∑ x i ⋅ n i \bar{x} = \tfrac{1}{n}\sum x_i \cdot n_i x ˉ = n 1 ∑ x i ⋅ n i .
Hier ist n n n 1 n \tfrac{1}{n} n 1 n i n \tfrac{n_i}{n} n n i f i f_i f i
Das Zeichen für den Mittelwert ist x ˉ \bar{x} x ˉ gewogenes (oder gewichtetes) arithmetisches Mittel . Die Anteile f i f_i f i Gewichte : Sie sagen, wie stark jeder Wert zählt. Damit das ein Durchschnitt ist, müssen die Gewichte zusammen 1 ergeben. Das hat Schritt 2 geprüft.
x ˉ = 0 + 0,30 + 0,70 + 0,60 = 1,6 \bar{x} = 0 + 0{,}30 + 0{,}70 + 0{,}60 = 1{,}6 x ˉ = 0 + 0 , 30 + 0 , 70 + 0 , 60 = 1 , 6 Jetzt wird die Formel aus Schritt 3 angewendet. Für jede Spalte rechnet man x i ⋅ f i x_i \cdot f_i x i ⋅ f i
Die Gruppe mit 0 Beratungen trägt nichts bei, denn 0 ⋅ 0,15 = 0 0 \cdot 0{,}15 = 0 0 ⋅ 0 , 15 = 0
Die vier Beiträge addiert ergeben 1,6. Das ist exakt, gerundet wird nichts.
Probe mit den gedachten 100 Kunden: Sie nehmen zusammen 15 ⋅ 0 + 30 ⋅ 1 + 35 ⋅ 2 + 20 ⋅ 3 = 160 15 \cdot 0 + 30 \cdot 1 + 35 \cdot 2 + 20 \cdot 3 = 160 15 ⋅ 0 + 30 ⋅ 1 + 35 ⋅ 2 + 20 ⋅ 3 = 160
x ˉ = 1,6 Beratungen je Kunde \bar{x} = 1{,}6 \text{ Beratungen je Kunde} x ˉ = 1 , 6 Beratungen je Kunde Interpretation: Im Durchschnitt nimmt ein Kunde 1,6 Beratungen in Anspruch.
Kein Kunde hat 1,6 Beratungen, es gibt nur ganze Zahlen. Das ist kein Fehler: Der Mittelwert ist eine Rechengröße und muss kein möglicher Wert sein. Darum nicht auf 2 runden. Anders gesagt: 100 Kunden nehmen zusammen etwa 160 Beratungen in Anspruch.
Der Mittelwert als Schwerpunkt: Stellt man sich die Balken der Grafik als Gewichte auf einer Wippe vor, bleibt sie genau über 1,6 im Gleichgewicht. Nachrechnen lässt sich das mit den Abweichungen x i − x ˉ x_i - \bar{x} x i − x ˉ
Plausibel? 1,6 liegt zwischen dem kleinsten Wert 0 und dem größten Wert 3. Und 1,6 liegt über dem falschen Wert 1,5, weil die großen Werte 2 und 3 zusammen mehr Kunden haben (55 %) als die kleinen Werte 0 und 1 (45 %).
s 2 = 3,5 − 1,6 2 = 0,94 s^2 = 3{,}5 - 1{,}6^2 = 0{,}94 s 2 = 3 , 5 − 1 , 6 2 = 0 , 94 Ergänzung, in der Aufgabe nicht gefragt. Der Mittelwert sagt, wo die Daten liegen. Er sagt nicht, wie weit die einzelnen Werte um ihn herum verteilt sind. Das nennt man Streuung . Ein Maß dafür heißt Streuungsmaß .
Ausgangspunkt sind die Abweichungen x i − x ˉ x_i - \bar{x} x i − x ˉ
Die Varianz s 2 s^2 s 2 ∑ x i 2 ⋅ f i \sum x_i^2 \cdot f_i ∑ x i 2 ⋅ f i x ˉ 2 \bar{x}^2 x ˉ 2
Die Einheit der Varianz ist „Beratungen zum Quadrat“. Das lässt sich schlecht deuten. Darum folgt im nächsten Schritt die Wurzel.
s = 0,94 ≈ 0,97 s = \sqrt{0{,}94} \approx 0{,}97 s = 0 , 94 ≈ 0 , 97 Ergänzung, nicht gefragt. Die Standardabweichung s s s
0,94 = 0,9695 … \sqrt{0{,}94} = 0{,}9695\ldots 0 , 94 = 0 , 9695 …
Interpretation: Die Zahl der Beratungen eines Kunden weicht typischerweise um knapp eine Beratung vom Durchschnitt 1,6 ab. Das Band in der Grafik reicht von 1,6 − 0,97 ≈ 0,63 1{,}6 - 0{,}97 \approx 0{,}63 1 , 6 − 0 , 97 ≈ 0 , 63 1,6 + 0,97 ≈ 2,57 1{,}6 + 0{,}97 \approx 2{,}57 1 , 6 + 0 , 97 ≈ 2 , 57 0,30 + 0,35 = 0,65 0{,}30 + 0{,}35 = 0{,}65 0 , 30 + 0 , 35 = 0 , 65
Plausibel? Die Abweichungen liegen zwischen 0,4 und 1,6. Ein typischer Abstand von knapp 1 liegt dazwischen.
Antwort mit Satz für die Klausur: Im Durchschnitt nimmt ein Kunde 1,6 Beratungsleistungen in Anspruch.
Typische Fehler:
Die Werte 0, 1, 2, 3 ohne Anteile mitteln: 6 4 = 1,5 \tfrac{6}{4} = 1{,}5 4 6 = 1 , 5 Die Anteile mitteln: 1 4 = 0,25 \tfrac{1}{4} = 0{,}25 4 1 = 0 , 25 Am Ende noch durch 4 (die Zahl der Spalten) teilen. Die Anteile ersetzen das Teilen durch n n n Den Mittelwert auf 2 runden, weil Beratungen ganze Zahlen sind. Die Zeile mit 0 Beratungen weglassen. Ihr Beitrag ist 0, ihr Anteil zählt aber. Nur die Zahl hinschreiben, ohne Satz und ohne Einheit.