Haushaltseinkommen: 1. und 3. Quartil

Die Aufgabe

Aufgabe 2. Jüngste Umfragen des Statistischen Bundesamtes haben für die das monatlich verfügbare Nettoeinkommen folgende Daten ergeben:

Monatliches Haushaltsnettoeinkommen von … bis unter … TEUR	f(x)
unter 1,3	0,09
1,3 – 2,6	0,27
2,6 – 3,6	0,20
3,6 – 5	0,21
5 – 18	0,23

Berechnen und interpretieren Sie das 1. Quartil.
Berechnen und interpretieren Sie das 3. Quartil.

Vorbereitung

Tabelle, Summenanteile, was ein Quartil ist

Die Tabelle lesen: Klassen, Grenzen, Anteile

$j$	Klasse in TEUR	$x_j^u$	$x_j^o$	Breite	$f_j$
1	unter 1,3	(offen)	1,3	–	0,09
2	1,3 bis unter 2,6	1,3	2,6	1,3	0,27
3	2,6 bis unter 3,6	2,6	3,6	1,0	0,20
4	3,6 bis unter 5	3,6	5	1,4	0,21
5	5 bis unter 18	5	18	13	0,23

Probe: Die Anteile ergeben zusammen 1

0{,}09 + 0{,}27 + 0{,}20 + 0{,}21 + 0{,}23 = 1{,}00

Die Anteile aufsummieren: F an den Klassengrenzen

Aufsummieren, Klasse für Klasse

\begin{aligned} F_1 &= 0{,}09 \\ F_2 &= 0{,}09 + 0{,}27 = 0{,}36 \\ F_3 &= 0{,}36 + 0{,}20 = 0{,}56 \\ F_4 &= 0{,}56 + 0{,}21 = 0{,}77 \\ F_5 &= 0{,}77 + 0{,}23 = 1{,}00 \end{aligned}

$j$	Klasse in TEUR	$f_j$	$F_j$
1	unter 1,3	0,09	0,09
2	1,3 bis unter 2,6	0,27	0,36
3	2,6 bis unter 3,6	0,20	0,56
4	3,6 bis unter 5	0,21	0,77
5	5 bis unter 18	0,23	1,00

Was ein Quartil ist

Formelsammlung: Definition des p-Quantils, für 0 < p < 1

\tilde x_p = \min\{\, x \in \mathbb{R} : F(x) \ge p \,\}

In Worten: der kleinste Wert $x$ , bis zu dem mindestens der Anteil $p$ der Haushalte reicht. $\min$ heißt „der kleinste“, $x \in \mathbb{R}$ heißt „x ist eine reelle Zahl“, also irgendein Einkommen auf der Achse.

a) Das 1. Quartil

das Einkommen, unter dem ein Viertel der Haushalte liegt

Die Klasse finden, in der 25 % erreicht werden

Wo erreicht F die Marke 0,25?

\begin{aligned} F_1 &= 0{,}09 < 0{,}25 \\ F_2 &= 0{,}36 \ge 0{,}25 \quad\Rightarrow\quad j = 2,\ \text{Klasse } 1{,}3 \text{ bis unter } 2{,}6 \end{aligned}

In Klasse 2 genau rechnen: x̃₀,₂₅ ≈ 2,07

Formelsammlung: Quartil bei klassierten Daten, 2. Schritt

\tilde x_p \approx x_j^u + \frac{p - F(x_j^u)}{f_j}\,\bigl(x_j^o - x_j^u\bigr)

Werte für p = 0,25 und Klasse j = 2 einsetzen

x_2^u = 1{,}3, \quad x_2^o = 2{,}6, \quad F(x_2^u) = F_1 = 0{,}09, \quad f_2 = 0{,}27

Ausrechnen, Zeile für Zeile

\begin{aligned} \tilde x_{0{,}25} &\approx 1{,}3 + \frac{0{,}25 - 0{,}09}{0{,}27}\,(2{,}6 - 1{,}3) \\ &= 1{,}3 + \frac{0{,}16}{0{,}27} \cdot 1{,}3 \\ &= 1{,}3 + \frac{0{,}208}{0{,}27} \\ &\approx 1{,}3 + 0{,}7704 \\ &= 2{,}0704 \\ &\approx 2{,}07 \text{ TEUR} \end{aligned}

Probe: Bis 2,0704 TEUR reicht der Linienzug auf $0{,}09 + 0{,}27 \cdot \tfrac{0{,}7704}{1{,}3} \approx 0{,}09 + 0{,}16 = 0{,}25$ .

Das 1. Quartil deuten

Interpretation des 1. Quartils

Etwa 25 % der Haushalte haben ein monatliches Nettoeinkommen von weniger als 2.070 €, etwa 75 % haben mindestens 2.070 €.

b) Das 3. Quartil

das Einkommen, unter dem drei Viertel der Haushalte liegen

Die Klasse finden, in der 75 % erreicht werden

Wo erreicht F die Marke 0,75?

\begin{aligned} F_1 &= 0{,}09 < 0{,}75 \\ F_2 &= 0{,}36 < 0{,}75 \\ F_3 &= 0{,}56 < 0{,}75 \\ F_4 &= 0{,}77 \ge 0{,}75 \quad\Rightarrow\quad j = 4,\ \text{Klasse } 3{,}6 \text{ bis unter } 5 \end{aligned}

In Klasse 4 genau rechnen: x̃₀,₇₅ ≈ 4,87

Formelsammlung: Quartil bei klassierten Daten, 2. Schritt

\tilde x_p \approx x_j^u + \frac{p - F(x_j^u)}{f_j}\,\bigl(x_j^o - x_j^u\bigr)

Werte für p = 0,75 und Klasse j = 4 einsetzen

x_4^u = 3{,}6, \quad x_4^o = 5, \quad F(x_4^u) = F_3 = 0{,}56, \quad f_4 = 0{,}21

Ausrechnen, Zeile für Zeile

\begin{aligned} \tilde x_{0{,}75} &\approx 3{,}6 + \frac{0{,}75 - 0{,}56}{0{,}21}\,(5 - 3{,}6) \\ &= 3{,}6 + \frac{0{,}19}{0{,}21} \cdot 1{,}4 \\ &= 3{,}6 + \frac{0{,}266}{0{,}21} \\ &\approx 3{,}6 + 1{,}2667 \\ &= 4{,}8667 \\ &\approx 4{,}87 \text{ TEUR} \end{aligned}

Probe: Bis 4,8667 TEUR reicht der Linienzug auf $0{,}56 + 0{,}21 \cdot \tfrac{1{,}2667}{1{,}4} \approx 0{,}56 + 0{,}19 = 0{,}75$ . Wie erwartet liegt der Wert nahe der Grenze 5.

Das 3. Quartil deuten

Interpretation des 3. Quartils

Etwa 75 % der Haushalte haben ein monatliches Nettoeinkommen von weniger als 4.870 €, etwa 25 % haben mindestens 4.870 €.

Ergebnis

a) 1. Quartil

\tilde x_{0{,}25} \approx \mathbf{2{,}07}

TEUR: Etwa 25 % der Haushalte haben weniger als 2.070 € netto im Monat, 75 % mindestens so viel.

b) 3. Quartil

\tilde x_{0{,}75} \approx \mathbf{4{,}87}

TEUR: Etwa 75 % der Haushalte haben weniger als 4.870 € netto im Monat, 25 % mindestens so viel.

Probe:

F(2{,}0704) \approx 0{,}25

und

F(4{,}8667) \approx 0{,}75

; die Reihenfolge 2,07 < 3,3 < 4,87 stimmt.

Der Weg in Kürze:

Anteile prüfen (Summe 1) und zu $F_j$ aufsummieren.
Klasse mit $F_{j-1} < p \le F_j$ suchen, für $p$ = 0,25 und 0,75.
$\tilde x_p \approx x_j^u + \frac{p - F_{j-1}}{f_j}\,(x_j^o - x_j^u)$ , erst am Ende runden.
Jedes Quartil in einem Satz mit Einheit deuten.

Typische Fehler:

Das 1. Quartil mit der ersten Klasse verwechseln: Gemeint ist ein Einkommen, keine Klasse.
Im Zähler $p - F_j$ statt $p - F_{j-1}$ nehmen: Gemeint ist der Anteil unter der Klasse.
Beim 3. Quartil mit der falschen Breite rechnen: Klasse 4 ist 1,4 TEUR breit, nicht 1,3 oder 1,0.
Die Klassenmitte der gefundenen Klasse als Quartil angeben statt zu interpolieren.
„=“ statt „≈“ schreiben oder zwischendurch runden: Der Wert ist eine Näherung, gerundet wird am Ende.
Nur die Zahl hinschreiben: „Interpretieren“ verlangt einen Satz mit Einheit im Sachzusammenhang.

Teil	Weg	Ergebnis
a)	$F_1 < 0{,}25 \le F_2$ , in Klasse 2 interpolieren	$\tilde x_{0{,}25} \approx 2{,}07$
b)	$F_3 < 0{,}75 \le F_4$ , in Klasse 4 interpolieren	$\tilde x_{0{,}75} \approx 4{,}87$

Schritt 0Die Aufgabe

Vorbereitung

Schritt 1Die Tabelle lesen: Klassen, Grenzen, Anteile

Schritt 2Die Anteile aufsummieren: F an den Klassengrenzen

Schritt 3Was ein Quartil ist

a) Das 1. Quartil

Schritt 4Die Klasse finden, in der 25 % erreicht werden

Schritt 5In Klasse 2 genau rechnen: x̃₀,₂₅ ≈ 2,07

Schritt 6Das 1. Quartil deuten