Unter den 70 Studierenden gibt es zwei Merkmale: sportlich aktiv oder nicht, Mitglied im Sportverein oder nicht. Gegeben sind drei Anteile:
- 49 von 70 sind aktiv.
- Von diesen Aktiven ist die Hälfte Mitglied.
- Von den übrigen 21, den nicht Aktiven, ist ein Drittel Mitglied.
Gesucht sind fünf Dinge: a) wie wahrscheinlich ein zufällig gewählter Studierender Mitglied ist; b) wie wahrscheinlich ein Mitglied aktiv ist; c) wie wahrscheinlich jemand aktiv, aber kein Mitglied ist, dazu die Vierfeldertafel; d) wie wahrscheinlich jemand Mitglied oder aktiv ist; e) ob Aktivität und Mitgliedschaft unabhängig sind.
Vorab: Die Hälfte von 49 sind 24,5 Studierende. Halbe Personen gibt es nicht; die Zahlen der Aufgabe sind ausgedacht. Darum rechnet dieser Lösungsweg mit Anteilen (Wahrscheinlichkeiten) und nicht mit Personenzahlen. Mit Anteilen geht alles glatt auf. Schritt 2 erklärt das genauer.
Der Weg:
- Ereignisse benennen und die gegebenen Anteile als Wahrscheinlichkeiten schreiben (Schritte 1 und 2).
- Die Wahrscheinlichkeit für „aktiv und Mitglied“ berechnen (Schritt 3).
- Daraus a) bis e) nacheinander (Schritte 4 bis 9).
Merke: „und“, „oder“ und „unter der Bedingung“ sind drei verschiedene Fragen. Wer sie auseinanderhält, löst die ganze Aufgabe.
P(A)=0,7,
P(Aˉ)=0,3 Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang mit unsicherem Ausgang. Hier: Man wählt zufällig einen der 70 Studierenden aus. Ein Ereignis ist eine Aussage über den Ausgang, die eintreten kann oder nicht. Die Aufgabe nennt zwei:
- A: Der Studierende ist regelmäßig sportlich aktiv.
- B: Der Studierende hat eine Mitgliedschaft im Sportverein.
Die Wahrscheinlichkeit P(A) ist eine Zahl zwischen 0 und 1. Sie sagt, wie sicher A eintritt. „Zufällig ausgewählt“ heißt: Jeder der 70 hat dieselbe Chance. Dann ist die Wahrscheinlichkeit der Anteil der Studierenden, für die A zutrifft.
Aus Blatt 1, Aufgabe 3 („Prüfungsnoten: Häufigkeiten und Summenhäufigkeiten“): Die relative Häufigkeit ist der Anteil: Anzahl geteilt durch die Gesamtzahl. Bei zufälliger Auswahl ist sie genau die Wahrscheinlichkeit.
Das Gegenereignis Aˉ (gesprochen „A quer“) heißt: A tritt nicht ein, der Studierende ist nicht aktiv. A und Aˉ zusammen decken alle Studierenden ab. Darum ergeben ihre Wahrscheinlichkeiten zusammen 1. Genauso ist Bˉ: kein Mitglied.
In der Grafik ist das ganze Quadrat die Wahrscheinlichkeit 1. Die Spalte der Aktiven ist 0,7 breit, die der übrigen 0,3.
P(B/A)=21,
P(B/Aˉ)=31 „Die Hälfte dieser sportlich Aktiven“ ist Mitglied. Der Anteil bezieht sich nicht auf alle 70, sondern nur auf die Aktiven. Das ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit: die Wahrscheinlichkeit für B, wenn schon feststeht, dass A eingetreten ist.
Man schreibt P(B/A) und liest „P von B unter der Bedingung A“. Was hinter dem Schrägstrich steht, ist die Bedingung: die Gruppe, in der man zählt. In manchen Büchern steht statt des Schrägstrichs ein senkrechter Strich, P(B∣A). Gemeint ist dasselbe.
Ebenso heißt „ein Drittel der nicht sportlich Aktiven“: P(B/Aˉ)=31.
In der Grafik ist die Höhe des Mitglieder-Feldes in einer Spalte genau diese bedingte Wahrscheinlichkeit: P(B/A)=21 in der Spalte der Aktiven, P(B/Aˉ)=31 in der Spalte der nicht Aktiven.
Warum mit Anteilen? Die Hälfte von 49 Aktiven wären 24,5 Mitglieder. Eine halbe Person gibt es nicht. Die Zahlen der Aufgabe passen also nicht ganz zu echten Personen. Rundet man auf 24 oder 25, werden alle weiteren Ergebnisse ungenau. Mit Anteilen geht dagegen alles auf, und gefragt sind ohnehin Wahrscheinlichkeiten. Bei den nicht Aktiven passt es: Ein Drittel von 21 sind 7.
Merke: Bezieht sich ein Anteil auf eine Teilgruppe („von diesen …“), ist er eine bedingte Wahrscheinlichkeit. Die Teilgruppe kommt hinter den Schrägstrich.
P(A∩B)=0,35,
P(Aˉ∩B)=0,1 Für fast alle Teilaufgaben braucht man, wie viele beides sind: aktiv und Mitglied. Darum kommt diese Rechnung zuerst.
Das Zeichen ∩ heißt „und“ (Schnitt): A∩B tritt ein, wenn A und B beide eintreten. Hier: Der Studierende ist aktiv und Mitglied.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist so definiert: Man teilt den Anteil von „beides“ durch den Anteil der Bedingung, P(B/A)=P(A)P(A∩B). Multipliziert man beide Seiten mit P(A), erhält man den Multiplikationssatz. Er sagt: Anteil der Gruppe mal Anteil in der Gruppe.
Hier: 70 % sind aktiv, davon die Hälfte Mitglied. Die Hälfte von 70 % sind 35 %. Ebenso: 30 % sind nicht aktiv, davon ein Drittel Mitglied, also 10 %.
In der Grafik ist das Breite mal Höhe des Feldes: Die Fläche ist die Wahrscheinlichkeit.
P(B)=0,35+0,1=0,45 Gesucht ist P(B): Ein zufällig gewählter Studierender ist Mitglied, egal ob aktiv oder nicht. Jedes Mitglied ist entweder aktiv oder nicht aktiv, nie beides. Die Mitglieder zerfallen also in zwei Gruppen ohne Überschneidung: A∩B und Aˉ∩B.
Gruppen ohne Überschneidung darf man addieren. Setzt man für beide Teile den Multiplikationssatz aus Schritt 3 ein, heißt das Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit.
Die Formelsammlung schreibt ihn allgemein als Summe über beliebig viele Gruppen ohne Überschneidung, die zusammen alle Studierenden abdecken. Hier sind es zwei Gruppen, A und Aˉ. Dort stehen die Buchstaben vertauscht: Die Gruppen heißen dort Bi, das gesuchte Ereignis A.
In der Grafik: die beiden unteren Felder, gestrichelt umrandet. Ihre Flächen 0,35 und 0,1 ergeben zusammen 0,45.
Antwort a): Mit 45 % Wahrscheinlichkeit hat ein zufällig ausgewählter Studierender eine Mitgliedschaft im Sportverein.
P(A/B)=0,450,35=97≈0,7778 „Unter der Bedingung, dass er/sie eine Mitgliedschaft besitzt“: Die Bedingung ist B. Man schaut nur noch auf die Mitglieder und fragt, welcher Anteil von ihnen aktiv ist. Gesucht ist P(A/B).
Achtung: Das ist nicht P(B/A)=0,5 aus Schritt 2. Dort war die Gruppe „die Aktiven“, hier ist sie „die Mitglieder“. Die Bedingung steht immer hinter dem Schrägstrich.
Die Formel ist die Definition aus Schritt 3, jetzt mit B als Bedingung: Anteil von „beides“ geteilt durch den Anteil der Bedingung. Der Zähler kommt aus Schritt 3, der Nenner aus Schritt 4.
In der Grafik: Von der gestrichelt umrandeten Fläche 0,45 ist das farbige Feld 0,35 aktiv. 0,450,35 wird mit 100 erweitert zu 4535 und mit 5 gekürzt zu 97. Gerundet wird erst am Ende, auf vier Nachkommastellen.
Diese Rechnung heißt auch Satz von Bayes: Man dreht die Bedingung um, von P(B/A) zu P(A/B). Der Zähler P(B/A)⋅P(A) ist genau P(A∩B).
Antwort b): Ein Mitglied im Sportverein ist mit rund 77,78 % Wahrscheinlichkeit sportlich aktiv.
P(A∩Bˉ)=0,7−0,35=0,35 Gesucht: keine Mitgliedschaft und sportlich aktiv, also A∩Bˉ. Hier ist keine Bedingung gemeint, sondern beides zugleich, wie in Schritt 3.
Jeder Aktive ist entweder Mitglied oder nicht. Die Aktiven zerfallen also in A∩B und A∩Bˉ. Zieht man von allen Aktiven die aktiven Mitglieder ab, bleiben die Aktiven ohne Mitgliedschaft.
In der Grafik ist das der obere Teil der Spalte der Aktiven. Weil genau die Hälfte der Aktiven Mitglied ist, ist der obere Teil genauso groß wie der untere.
Antwort c): Mit 35 % Wahrscheinlichkeit ist ein Studierender sportlich aktiv und kein Mitglied im Sportverein.
P(Aˉ∩Bˉ)=0,2,
P(Bˉ)=0,55 Eine Vierfeldertafel ist eine Tabelle mit zwei Zeilen und zwei Spalten für die vier Kombinationen. Die Zeilen sind A, aktiv, und Aˉ, nicht aktiv. Die Spalten sind B, Mitglied, und Bˉ, kein Mitglied. Am Rand stehen die Summen.
Drei Innenfelder sind schon bekannt (Schritte 3 und 6). Das vierte Feld, nicht aktiv und kein Mitglied, folgt wie in Schritt 6: von allen nicht Aktiven (0,3) die Mitglieder unter ihnen (0,1) abziehen. Die Randsumme P(Bˉ) ist die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses „kein Mitglied“: 1−P(B).
Probe: Jede Zeile ergibt ihren Rand, jede Spalte ihren Rand, und alle vier Innenfelder zusammen ergeben 1: 0,35+0,35+0,1+0,2=1.
Zur Anschauung in Personen: Mal 70 genommen stehen in den Feldern 24,5 und 24,5 sowie 7 und 14. Die 24,5 zeigt noch einmal: Die Zahlen sind ausgedacht. Die Tafel mit Wahrscheinlichkeiten ist die Antwort.
P(A∪B)=0,7+0,45−0,35=0,8 Das Zeichen ∪ heißt „oder“ (Vereinigung): A∪B tritt ein, wenn A eintritt, B eintritt oder beide. „Oder“ ist in der Mathematik nicht ausschließend: Wer aktiv und Mitglied ist, zählt mit.
Addiert man P(A)+P(B), zählt man die Studierenden, die beides sind, doppelt: einmal bei den Aktiven, einmal bei den Mitgliedern. Darum zieht man P(A∩B) einmal ab. Das ist der allgemeine Additionssatz.
Probe über das Gegenereignis: „Weder aktiv noch Mitglied“ ist das einzige Feld, das nicht zu A∪B gehört. Es hat 0,2 (Schritt 7). Also bleibt 1−0,2=0,8. In der Grafik ist es das einzige graue Feld.
Antwort d): Mit 80 % Wahrscheinlichkeit besitzt ein Studierender eine Mitgliedschaft im Sportverein oder ist sportlich aktiv.
P(A)⋅P(B)=0,315=0,35 Zwei Ereignisse heißen stochastisch unabhängig, wenn das eine nichts über das andere verrät. Hier hieße das: Unter den Aktiven ist der Anteil der Mitglieder genauso groß wie unter allen Studierenden, also P(B/A)=P(B).
Setzt man das in den Multiplikationssatz aus Schritt 3 ein, wird aus P(B/A) der Wert P(B). Daraus folgt die Prüfregel: P(A∩B)=P(A)⋅P(B). Stimmen beide Seiten nicht überein, sind die Ereignisse abhängig.
Hier: 0,7⋅0,45=0,315, aber P(A∩B)=0,35. Die Werte sind verschieden, also abhängig.
Zweiter Weg, gleiches Ergebnis: P(A/B)≈0,78 aus Schritt 5 ist nicht gleich P(A)=0,7. Wer Mitglied ist, ist häufiger aktiv als der Durchschnitt.
In der Grafik: Bei Unabhängigkeit wäre der Anteil der Mitglieder in beiden Spalten P(B)=0,45. Beide Mitglieder-Felder lägen dann genau auf der gestrichelten Linie. Tatsächlich reicht das Feld der Aktiven höher, bis 0,5, das der nicht Aktiven tiefer, nur bis 1/3.
Antwort e): Die Ereignisse „Mitgliedschaft im Sportverein besitzen“ und „sportlich aktiv sein“ sind nicht unabhängig, sie sind abhängig.
Die fünf Antworten in Worten:
- a) 45 % der Studierenden haben eine Mitgliedschaft im Sportverein.
- b) Von den Mitgliedern sind 7 von 9 sportlich aktiv, rund 77,78 %.
- c) 35 % sind aktiv, aber kein Mitglied.
- d) 80 % sind Mitglied oder aktiv oder beides; nur 20 % sind keins von beiden.
- e) Aktivität und Mitgliedschaft sind abhängig.
Typische Fehler:
- P(A/B) und P(B/A) verwechseln: In b) ist die Bedingung „Mitglied“, nicht „aktiv“. 0,5 wäre falsch.
- „und“ mit „unter der Bedingung“ verwechseln: In c) ist P(A∩Bˉ)=0,35 gesucht, nicht P(Bˉ/A)=0,5.
- Bei „oder“ nur addieren: 0,7+0,45=1,15 ist größer als 1 und darum unmöglich.
- Ein Drittel auf alle 70 beziehen: 31 gilt nur für die nicht Aktiven.
- Die 24,5 auf 24 oder 25 runden: Dann stimmen alle weiteren Werte nicht mehr.