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Statistik · Übungsblatt 3 · Aufgabe 2

Lotto in drei Ländern: hypergeometrische Verteilung

Drei Länder, drei Lotto-Regeln: 6 aus 45, 5 aus 69 und 6 aus 49. Wo ist die Chance auf den Hauptgewinn am größten? Die Antwort liefert die hypergeometrische Verteilung, die Verteilung für das Ziehen ohne Zurücklegen. Für den Hauptgewinn wird ihre Formel zu einem einzigen Bruch. Den Nenner, einen Binomialkoeffizienten, rechnen wir von Hand aus. Der ganze Lösungsweg steht von Anfang an da, die Erklärung gehört zum aktuellen Schritt. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Die Aufgabe

„Glücksspiel kann süchtig machen“ oder „andere Länder andere Sitten“.

In Australien werden 6 Hauptzahlen aus 45 Möglichen gezogen, in den USA sind es 5 aus 69 und in Kanada 6 aus 49. Hat der Kandidat alle Hauptzahlen richtig geraten, erhält er den Hauptgewinn (die Zusatzzahl bleibe an dieser Stelle unberücksichtigt).

  1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit auf einen Hauptgewinn in Australien?
  2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit auf einen Hauptgewinn in den USA?
  3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit auf einen Hauptgewinn in Kanada?
  4. Wo sollte man demnach am ehesten Lotto spielen, da die Gewinnchancen auf einen Hauptgewinn am höchsten sind?

Das Modell

Lotto als Urne ohne Zurücklegen

Lotto als Zufallsexperiment

Landgezogene HauptzahlenHauptgewinn
Australien6X=6X = 6
USA5X=5X = 5
Kanada6X=6X = 6

Die Urne ohne Zurücklegen

Landalle Kugeln NNgetippt MMgezogen nn
Australien4566
USA6955
Kanada4966

Fakultät und Binomialkoeffizient

Fakultät (Formelsammlung)
n!:=1⋅2⋅3⋅…⋅(n−1)⋅n,0!=1n! := 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n, \qquad 0! = 1
Binomialkoeffizient (Formelsammlung)
(nx)=n!x!⋅(n−x)!\binom{n}{x} = \frac{n!}{x! \cdot (n-x)!}
Beispiel: 2 aus 4 Zahlen auswählen
(42)=4!2!⋅2!=242⋅2=6\binom{4}{2} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = 6

Die Formel der hypergeometrischen Verteilung

Laplace-Regel: alle Ausgänge gleich wahrscheinlich
P(A)=Anzahl der gu¨nstigen Ausga¨ngeAnzahl aller mo¨glichen Ausga¨ngeP(A) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ausgänge}}{\text{Anzahl aller möglichen Ausgänge}}
Hypergeometrische Verteilung (Formelsammlung)
fH(x;N,M,n)=P(X=x)=(Mx)⋅(N−Mn−x)(Nn)fu¨r x=0,1,…,nf_H(x;N,M,n) = P(X = x) = \frac{\binom{M}{x} \cdot \binom{N-M}{n-x}}{\binom{N}{n}} \qquad \text{für } x = 0, 1, \ldots, n

a) Australien: 6 aus 45

Formel ansetzen, Binomialkoeffizient ausrechnen

Australien: die Formel ansetzen

Parameter eingesetzt: N = 45, M = 6, n = 6, x = 6
P(X=6)=fH(6;45,6,6)=(66)⋅(45−66−6)(456)=(66)⋅(390)(456)P(X = 6) = f_H(6;45,6,6) = \frac{\binom{6}{6} \cdot \binom{45-6}{6-6}}{\binom{45}{6}} = \frac{\binom{6}{6} \cdot \binom{39}{0}}{\binom{45}{6}}
Die beiden Koeffizienten im Zähler
(66)=6!6!⋅0!=1,(390)=39!0!⋅39!=1(0!=1)\binom{6}{6} = \frac{6!}{6! \cdot 0!} = 1, \qquad \binom{39}{0} = \frac{39!}{0! \cdot 39!} = 1 \qquad (0! = 1)
Beide Koeffizienten im Zähler sind 1
P(X=6)=1⋅1(456)=1(456)P(X = 6) = \frac{1 \cdot 1}{\binom{45}{6}} = \frac{1}{\binom{45}{6}}

Den Binomialkoeffizienten 45 über 6 ausrechnen

Formel aus Schritt 3, 39! gekürzt
(456)=45!6!⋅39!=45⋅44⋅43⋅42⋅41⋅406⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=5.864.443.200720=8.145.060\binom{45}{6} = \frac{45!}{6! \cdot 39!} = \frac{45 \cdot 44 \cdot 43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{5.864.443.200}{720} = 8.145.060
Von Hand: erst die Faktoren von 6! verteilen und kürzen
(456)=455⋅3⋅444⋅43⋅426⋅41⋅402=3⋅11⋅43⋅7⋅41⋅20\binom{45}{6} = \frac{45}{5 \cdot 3} \cdot \frac{44}{4} \cdot 43 \cdot \frac{42}{6} \cdot 41 \cdot \frac{40}{2} = 3 \cdot 11 \cdot 43 \cdot 7 \cdot 41 \cdot 20
Dann paarweise multiplizieren
=(3⋅11)⋅(43⋅7)⋅(41⋅20)=33⋅301⋅820=9.933⋅820=8.145.060= (3 \cdot 11) \cdot (43 \cdot 7) \cdot (41 \cdot 20) = 33 \cdot 301 \cdot 820 = 9.933 \cdot 820 = 8.145.060

Australien: die Wahrscheinlichkeit

a) Nenner aus Schritt 6 eingesetzt, am Ende auf drei gültige Ziffern gerundet
P(X=6)=18.145.060=0,000000122774…≈1,23⋅10−7P(X = 6) = \frac{1}{8.145.060} = 0{,}000000122774\ldots \approx 1{,}23 \cdot 10^{-7}
Aus demselben ungerundeten Wert: auf 9 Nachkommastellen gerundet
P(X=6)=0,000000122774…≈0,000000123P(X = 6) = 0{,}000000122774\ldots \approx 0{,}000000123

b) USA: 5 aus 69

derselbe Weg mit anderen Parametern

USA: die Formel ansetzen

Parameter eingesetzt: N = 69, M = 5, n = 5, x = 5
P(X=5)=fH(5;69,5,5)=(55)⋅(640)(695)=1⋅1(695)=1(695)P(X = 5) = f_H(5;69,5,5) = \frac{\binom{5}{5} \cdot \binom{64}{0}}{\binom{69}{5}} = \frac{1 \cdot 1}{\binom{69}{5}} = \frac{1}{\binom{69}{5}}

USA: Binomialkoeffizient und Wahrscheinlichkeit

Binomialkoeffizient (Schritt 3), 64! gekürzt
(695)=69!5!⋅64!=69⋅68⋅67⋅66⋅655⋅4⋅3⋅2⋅1=1.348.621.560120=11.238.513\binom{69}{5} = \frac{69!}{5! \cdot 64!} = \frac{69 \cdot 68 \cdot 67 \cdot 66 \cdot 65}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{1.348.621.560}{120} = 11.238.513
Von Hand: erst die Faktoren von 5! verteilen und kürzen
(695)=69⋅684⋅67⋅663⋅2⋅655=69⋅17⋅67⋅11⋅13\binom{69}{5} = 69 \cdot \frac{68}{4} \cdot 67 \cdot \frac{66}{3 \cdot 2} \cdot \frac{65}{5} = 69 \cdot 17 \cdot 67 \cdot 11 \cdot 13
Dann paarweise multiplizieren
=(69⋅17)⋅(67⋅11)⋅13=1.173⋅737⋅13=864.501⋅13=11.238.513= (69 \cdot 17) \cdot (67 \cdot 11) \cdot 13 = 1.173 \cdot 737 \cdot 13 = 864.501 \cdot 13 = 11.238.513
b) eingesetzt, am Ende auf drei gültige Ziffern gerundet
P(X=5)=111.238.513=0,000000088980…≈8,90⋅10−8P(X = 5) = \frac{1}{11.238.513} = 0{,}000000088980\ldots \approx 8{,}90 \cdot 10^{-8}
Aus demselben ungerundeten Wert: auf 9 Nachkommastellen gerundet
P(X=5)=0,000000088980…≈0,000000089P(X = 5) = 0{,}000000088980\ldots \approx 0{,}000000089

c) Kanada: 6 aus 49

derselbe Weg mit anderen Parametern

Kanada: die Formel ansetzen

Parameter eingesetzt: N = 49, M = 6, n = 6, x = 6
P(X=6)=fH(6;49,6,6)=(66)⋅(430)(496)=1⋅1(496)=1(496)P(X = 6) = f_H(6;49,6,6) = \frac{\binom{6}{6} \cdot \binom{43}{0}}{\binom{49}{6}} = \frac{1 \cdot 1}{\binom{49}{6}} = \frac{1}{\binom{49}{6}}

Kanada: Binomialkoeffizient und Wahrscheinlichkeit

Binomialkoeffizient (Schritt 3), 43! gekürzt
(496)=49!6!⋅43!=49⋅48⋅47⋅46⋅45⋅446⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=10.068.347.520720=13.983.816\binom{49}{6} = \frac{49!}{6! \cdot 43!} = \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{10.068.347.520}{720} = 13.983.816
Von Hand: erst die Faktoren von 6! verteilen und kürzen
(496)=49⋅486⋅4⋅2⋅47⋅46⋅455⋅3⋅44=49⋅1⋅47⋅46⋅3⋅44\binom{49}{6} = 49 \cdot \frac{48}{6 \cdot 4 \cdot 2} \cdot 47 \cdot 46 \cdot \frac{45}{5 \cdot 3} \cdot 44 = 49 \cdot 1 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 3 \cdot 44
Dann paarweise multiplizieren
=(49⋅47)⋅(46⋅3)⋅44=2.303⋅138⋅44=317.814⋅44=13.983.816= (49 \cdot 47) \cdot (46 \cdot 3) \cdot 44 = 2.303 \cdot 138 \cdot 44 = 317.814 \cdot 44 = 13.983.816
c) eingesetzt, am Ende auf drei gültige Ziffern gerundet
P(X=6)=113.983.816=0,000000071511…≈7,15⋅10−8P(X = 6) = \frac{1}{13.983.816} = 0{,}000000071511\ldots \approx 7{,}15 \cdot 10^{-8}
Aus demselben ungerundeten Wert: auf 9 Nachkommastellen gerundet
P(X=6)=0,000000071511…≈0,000000072P(X = 6) = 0{,}000000071511\ldots \approx 0{,}000000072

d) Der Vergleich

wo die Chance am größten ist

Die drei Länder vergleichen

Landmögliche TippsP(Hauptgewinn)
Australien8.145.0600,000000123
USA11.238.5130,000000089
Kanada13.983.8160,000000072
Verhältnis der Nenner: um diesen Faktor ist die Chance in Australien größer
13.983.8168.145.060≈1,72    (Kanada),11.238.5138.145.060≈1,38    (USA)\frac{13.983.816}{8.145.060} \approx 1{,}72 \;\;(\text{Kanada}), \qquad \frac{11.238.513}{8.145.060} \approx 1{,}38 \;\;(\text{USA})

Ergebnis

a) X∼H(45,6,6)X \sim H(45,6,6): P(X=6)=1/(456)≈0,000000123P(X = 6) = 1/\binom{45}{6} \approx 0{,}000000123.
b) X∼H(69,5,5)X \sim H(69,5,5): P(X=5)=1/(695)≈0,000000089P(X = 5) = 1/\binom{69}{5} \approx 0{,}000000089.
c) X∼H(49,6,6)X \sim H(49,6,6): P(X=6)=1/(496)≈0,000000072P(X = 6) = 1/\binom{49}{6} \approx 0{,}000000072.
d) Australien: die wenigsten möglichen Tipps, also die größte Chance.
Probe mit der Laplace-Regel (Schritt 4): Alle (456)\binom{45}{6} Tipps sind gleich wahrscheinlich, genau einer ist günstig. Günstige durch mögliche Ausgänge gibt wieder 1/(456)1/\binom{45}{6}.
Plausibel: Jede Wahrscheinlichkeit liegt zwischen 0 und 1 und ist winzig. Mehr Kugeln in der Trommel machen die Chance kleiner (Australien 45, Kanada 49, bei gleich vielen gezogenen Zahlen).

Der Weg in Kürze: Lotto als Urne ohne Zurücklegen erkennen, also X∼H(N,M,n)X \sim H(N,M,n) mit M=nM = n getippten Zahlen. Für den Hauptgewinn x=nx = n einsetzen: Der Zähler wird 1, es bleibt 1/(Nn)1/\binom{N}{n}. Den Binomialkoeffizienten durch Kürzen von Hand ausrechnen, am Ende runden. Zum Vergleich gilt: kleinerer Nenner, größere Chance.